Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm. Projekts par tēmu: Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos

Pitagora teorēma visiem ir zināma kopš skolas laikiem. Izcils matemātiķis pierādīja lielisku minējumu, ko šobrīd izmanto daudzi cilvēki. Noteikums izklausās šādi: taisnleņķa trijstūra hipotenūzas garuma kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Daudzus gadu desmitus neviens matemātiķis nav spējis argumentēt šo noteikumu. Galu galā Pitagors ilgu laiku gāja pretī savam mērķim, tā ka rezultātā zīmējumi notika ikdienas dzīvē.

Neliels pantiņš šai teorēmai, kas tika izgudrots neilgi pēc pierādīšanas, tieši pierāda hipotēzes īpašības: "Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos." Šī divrinde tika noglabāta daudzu cilvēku atmiņā - līdz šai dienai dzejolis tiek atcerēts aprēķinos.
Šo teorēmu nosauca par "Pitagora biksēm", jo, zīmējot vidū, tika iegūts taisnleņķa trīsstūris, kura malās bija kvadrāti. Pēc izskata šis zīmējums atgādināja bikses – no šejienes arī radies hipotēzes nosaukums.
Pitagors lepojās ar izstrādāto teorēmu, jo šī hipotēze no līdzīgām atšķiras ar maksimālo pierādījumu daudzumu. Svarīgi: vienādojums tika iekļauts Ginesa rekordu grāmatā 370 patiesu pierādījumu dēļ.
Hipotēzi pierādīja milzīgs skaits matemātiķu un profesoru no dažādas valstis daudzos veidos. Angļu matemātiķis Džonss drīz pēc hipotēzes izziņošanas to pierādīja ar diferenciālvienādojuma palīdzību.
Patlaban neviens nezina paša Pitagora teorēmas pierādījumu. Fakti par matemātiķa pierādījumiem mūsdienās nav zināmi nevienam. Tiek uzskatīts, ka Eiklida zīmējumu pierādījums ir Pitagora pierādījums. Tomēr daži zinātnieki strīdas ar šo apgalvojumu: daudzi uzskata, ka Eiklīds neatkarīgi pierādīja teorēmu, bez hipotēzes veidotāja palīdzības.
Pašreizējie zinātnieki ir atklājuši, ka lielais matemātiķis nebija pirmais, kurš atklāja šo hipotēzi.. Vienādojums bija zināms ilgi pirms Pitagora atklājuma. Šim matemātiķim izdevās tikai apvienot hipotēzi.
Pitagors nedeva vienādojumam nosaukumu "Pitagora teorēma". Šis nosaukums tika fiksēts pēc "skaļas divrindes". Matemātiķis tikai vēlējās, lai visa pasaule atzītu un izmantotu viņa pūles un atklājumus.
Morics Kantors - lielākais matemātiķis atrada un ieraudzīja piezīmes ar zīmējumiem uz sena papirusa. Neilgi pēc tam Kantors saprata, ka šī teorēma ēģiptiešiem bija zināma jau 2300. gadā pirms mūsu ēras. Tikai tad neviens to neizmantoja un necentās pierādīt.
Pašreizējie zinātnieki uzskata, ka hipotēze bija zināma jau 8. gadsimtā pirms mūsu ēras. Tā laika Indijas zinātnieki atklāja aptuvenu ar taisniem leņķiem apveltīta trīsstūra hipotenūzas aprēķinu. Tiesa, toreiz ar aptuveniem aprēķiniem vienādojumu neviens nevarēja droši pierādīt.
Lielais matemātiķis Bartels van der Vērdens pēc hipotēzes pierādīšanas izdarīja svarīgu secinājumu: “Par grieķu matemātiķa nopelniem uzskata nevis virziena un ģeometrijas atklāšanu, bet tikai tā pamatojumu. Pitagora rokās bija skaitļošanas formulas, kuru pamatā bija pieņēmumi, neprecīzi aprēķini un neskaidras idejas. Tomēr izcilajam zinātniekam izdevās to pārvērst par eksakto zinātni.
Slavens dzejnieks stāstīja, ka dienā, kad tika atklāts viņa zīmējums, viņš vēršiem uzcēla krāšņu upuri.. Tieši pēc hipotēzes atklāšanas izplatījās baumas, ka simts vēršu upuris "klejoja pa grāmatu un publikāciju lapām". Aprāts joks līdz pat šai dienai, ka kopš tā laika visi buļļi baidās no jauna atklājuma.
Pierādījums tam, ka Pitagors nav izdomājis dzejoli par biksēm, lai pierādītu viņa izvirzītos zīmējumus: dižā matemātiķa dzīves laikā bikšu vēl nebija. Tie tika izgudroti vairākus gadu desmitus vēlāk.
Pekka, Leibnics un vairāki citi zinātnieki mēģināja pierādīt iepriekš zināmo teorēmu, taču nevienam tas neizdevās.
Zīmējumu nosaukums "Pitagora teorēma" nozīmē "pārliecināšana ar runu". Šis ir vārda Pitagors tulkojums, ko matemātiķis pieņēma kā pseidonīmu.
Pitagora pārdomas par viņa paša valdīšanu: uz zemes esošā noslēpums slēpjas skaitļos. Galu galā matemātiķis, paļaujoties uz savu hipotēzi, pētīja skaitļu īpašības, atklāja vienmērīgumu un dīvainību un izveidoja proporcijas.

Mēs ceram, ka jums patika attēlu izvēle - Interesanti fakti par Pitagora teorēmu: uzzini jaunas lietas par slavenā teorēma(15 fotogrāfijas) tiešsaistē laba kvalitāte. Lūdzu, atstājiet savu viedokli komentāros! Katrs viedoklis mums ir svarīgs.

Pitagora bikses Komiskais nosaukums Pitagora teorēmai, kas radās tāpēc, ka taisnstūra malās veidotie kvadrāti, kas atšķiras dažādos virzienos, atgādina bikšu griezumu. Man patika ģeometrija ... un iestājeksāmenā universitātē es pat saņēmu uzslavu no matemātikas profesora Čumakova par viņa īpašību izskaidrošanu. paralēlas līnijas un Pitagora bikses(N. Pirogovs. Veca ārsta dienasgrāmata).

Krievu literārās valodas frazeoloģiskā vārdnīca. - M.: Astrel, AST. A. I. Fjodorovs. 2008 .

Skatiet, kas ir "Pitagora bikses" citās vārdnīcās:

Bikses — iegūstiet darbojošos SuperStep atlaižu kuponu Akadēmikā vai iegādājieties lētas bikses ar bezmaksas piegādi SuperStep izpārdošanā

Pitagora bikses- ... Vikipēdija

Pitagora bikses- Žargs. skola Shuttle. Pitagora teorēma, kas nosaka attiecības starp kvadrātu laukumiem, kas veidoti uz hipotenūzas un taisnleņķa trijstūra kājām. BTS, 835... Lielā vārdnīca Krievu teicieni

Pitagora bikses- Rotaļīgs nosaukums Pitagora teorēmai, kas nosaka attiecību starp kvadrātu laukumiem, kas veidoti uz hipotenūzas, un taisnleņķa trīsstūra kājām, kas zīmējumos izskatās kā bikšu griezums ... Daudzu izteicienu vārdnīca

Pitagora bikses (izgudrojums)- ārzemnieks: par apdāvinātu cilvēku Sal. Tā ir gudrā pārliecība. Senos laikos viņš droši vien būtu izgudrojis Pitagora bikses ... Saltykov. Raibi burti. Pitagora bikses (ģeom.): taisnstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātiem (mācība ... ... Miķelsona Lielā skaidrojošā frazeoloģiskā vārdnīca

Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm- Pogu skaits ir zināms. Kāpēc penim ir krampji? (aptuveni) par biksēm un vīrieša dzimumorgānu. Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm. Lai to pierādītu, ir jāizņem un jāparāda 1) par Pitagora teorēmu; 2) par platām biksēm... Dzīvā runa. Sarunvalodas izteicienu vārdnīca

Pitagora bikses izgudrot- Pitagora bikses (izgudrot) ārzemnieks. par apdāvinātu cilvēku. Tr Tas ir neapšaubāms gudrais. Senos laikos viņš droši vien būtu izgudrojis Pitagora bikses ... Saltykov. Raibi burti. Pitagora bikses (ģeom.): taisnstūrī, hipotenūzas kvadrāts ... ... Miķelsona lielā skaidrojošā frazeoloģiskā vārdnīca (sākotnējā pareizrakstība)

Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos- Pitagora teorēmas joku pierādījums; arī pa jokam par draugs pieguļošajām biksēm... Tautas frazeoloģijas vārdnīca

Adj., rupji...

PITAGORA BIKSES IR VIENĀDAS NO VISIEM PUSĒM (POGU SKAITS IR ZINĀMS. KĀPĒC TAS IR TUVU? / LAI TO PIERĀDĪT IR JĀIZŅEM UN RĀDĪT)- adj., rupjš ... Mūsdienu sarunvalodas frazeoloģisko vienību un teicienu skaidrojošā vārdnīca

bikses- lietvārds, pl., lietojums sast. bieži Morfoloģija: pl. kas? bikses, (nē) ko? bikses priekš kam? bikses, (skat) ko? bikses ko? bikses, ko? par biksēm 1. Bikses ir apģērba gabals, kuram ir divas īsas vai garas kājas un kas nosedz dibenu ... ... Dmitrijeva vārdnīca

Grāmatas

Pitagora bikses,. Šajā grāmatā jūs atradīsiet fantāziju un piedzīvojumus, brīnumus un daiļliteratūru. Smieklīgi un skumji, parasts un noslēpumains... Un kas vēl vajadzīgs izklaidējošai lasīšanai? Galvenais ir būt…

Romiešu arhitekts Vitruvijs izcēla Pitagora teorēmu "no daudzajiem atklājumiem, kas ir palīdzējuši cilvēka dzīves attīstībai", un aicināja pret to izturēties ar vislielāko cieņu. Tas bija 1. gadsimtā pirms mūsu ēras. e. 16.-17.gadsimta mijā slavenais vācu astronoms Johanness Keplers to nosauca par vienu no ģeometrijas dārgumiem, kas pielīdzināmi zelta mēram. Maz ticams, ka visā matemātikā ir kāds nozīmīgāks un nozīmīgāks apgalvojums, jo zinātnisko un praktisko pielietojumu skaita ziņā Pitagora teorēmai nav līdzvērtīga.

Pitagora teorēma vienādsānu taisnstūra trīsstūra gadījumam.

Zinātne un dzīve // Ilustrācijas

Pitagora teorēmas ilustrācija no Traktata par mērpolu (Ķīna, 3. gs. p.m.ē.) un uz tās pamata rekonstruēts pierādījums.

Zinātne un dzīve // Ilustrācijas

S. Pērkinss. Pitagors.

Zīmējums iespējamam Pitagora pierādījumam.

"Pitagora mozaīka" un an-Nairizi dalījums trīs kvadrātos Pitagora teorēmas pierādījumā.

P. de Hohs. Saimniece un kalpone pagalmā. Apmēram 1660. gads.

I. Ohtervelts. Klīstoši muzikanti pie bagātas mājas durvīm. 1665. gads.

Pitagora bikses

Pitagora teorēma, iespējams, ir atpazīstamākā un, bez šaubām, slavenākā matemātikas vēsturē. Ģeometrijā to lieto burtiski katrā solī. Neskatoties uz formulējuma vienkāršību, šī teorēma nekādā ziņā nav acīmredzama: skatoties uz taisnleņķa trīsstūri ar malām a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза vairāk platībasšis laukums. Viņa argumentācija patiesībā bija Pitagora teorēmas pierādīšana, kaut arī konkrētam trīsstūrim.

Attēlā attēlotie skaitļi. 1 un 2, atgādina vienkāršāko kvadrātu un to vienādu daļu ornamentu - ģeometrisku rakstu, kas pazīstams no neatminamiem laikiem. Viņi var pilnībā nosegt lidmašīnu. Matemātiķis šādu plaknes pārklāšanu ar daudzstūriem nosauktu par parketu vai flīzēšanu. Kāpēc šeit ir Pitagors? Izrādās, viņš pirmais atrisināja parasto parketu problēmu, kas aizsāka dažādu virsmu flīzēšanas izpēti. Tātad Pitagors parādīja, ka plakni ap punktu bez atstarpēm var pārklāt tikai ar vienādiem regulāriem daudzstūriem trīs veidi: seši trīsstūri, četri kvadrāti un trīs sešstūri.

4000 gadus vēlāk

Pitagora teorēmas vēsture aizsākās senatnē. Pieminējumi par to ir ietverti babiloniešu ķīļrakstu tekstos par karaļa Hamurabi laiku (XVIII gadsimts pirms mūsu ēras), tas ir, 1200 gadus pirms Pitagora dzimšanas. Teorēma ir izmantota kā gatavs noteikums daudzos uzdevumos, no kuriem vienkāršākais ir kvadrāta diagonāles atrašana gar tā malu. Iespējams, ka attiecību a 2 + b 2 = c 2 patvaļīgam taisnleņķa trijstūrim babilonieši ieguva, vienkārši “vispārinot” vienādību a 2 + a 2 = c 2 . Bet tas viņiem ir attaisnojams - seno cilvēku praktiskajai ģeometrijai, kas tika reducēta uz mērījumiem un aprēķiniem, strikti pamatojumi nebija nepieciešami.

Tagad, gandrīz 4000 gadus vēlāk, mums ir darīšana ar rekordlielu teorēmu iespējamo pierādījumu skaita ziņā. Starp citu, to kolekcionēšana ir sena tradīcija. Pitagora teorēmas intereses maksimums krita uz otro puse XIX- XX gadsimta sākums. Un, ja pirmajās kolekcijās bija ne vairāk kā divi vai trīs desmiti liecību, tad līdz 19. gadsimta beigām to skaits tuvojās 100, bet vēl pēc pusgadsimta tas pārsniedza 360, un tie ir tikai tie, kas savākti no dažādiem avoti. Kurš vienkārši neuztvēra šī mūžīgā uzdevuma risinājumu - no izciliem zinātniekiem un zinātnes popularizētājiem līdz kongresmeņiem un skolēniem. Un, kas ir ievērojams, risinājuma oriģinalitātē un vienkāršībā citi amatieri nebija zemāki par profesionāļiem!

Vecākais Pitagora teorēmas pierādījums, kas mums ir nonācis, ir aptuveni 2300 gadus vecs. Viena no tām – stingra aksiomātiskā – pieder sengrieķu matemātiķim Eiklidam, kurš dzīvoja 4.-3.gs.pmē. e. Elementu pirmajā grāmatā Pitagora teorēma ir uzskaitīta kā 47. priekšlikums. Vizuālākie un skaistākie pierādījumi veidoti uz "Pitagora bikšu" pārzīmējuma. Tie izskatās pēc ģeniālas kvadrātveida puzles. Bet lieciet figūrām kustēties pareizi - un tās atklās jums slavenās teorēmas noslēpumu.

Šeit ir elegants pierādījums, kas iegūts, pamatojoties uz viena seno ķīniešu traktāta zīmējumu (3. att.), un tā saistība ar kvadrāta laukuma dubultošanas problēmu uzreiz kļūst skaidra.

Tieši šo pierādījumu savam jaunākajam draugam mēģināja izskaidrot septiņgadīgais Gvido, angļu rakstnieka Aldousa Hakslija noveles “Mazais Arhimēds” spožacīgais varonis. Interesanti, ka stāstītājs, kurš novēroja šo attēlu, atzīmēja pierādījumu vienkāršību un pārliecinošumu, un tāpēc to attiecināja uz ... pašu Pitagoru. Bet galvenais varonis fantastisks Jevgeņija Veltistova stāsts "Elektronika - zēns no čemodāna" zināja 25 Pitagora teorēmas pierādījumus, tostarp Eiklida dotos; Tiesa, viņš to maldīgi nosauca par visvienkāršāko, lai gan patiesībā mūsdienu Iesākumu izdevumā tas aizņem pusotru lappusi!

Pirmais matemātiķis

Pitagors no Samos (570-495 BC), kura vārds jau sen ir nesaraujami saistīts ar ievērojamu teorēmu, savā ziņā var saukt par pirmo matemātiķi. Tieši no viņa matemātika sākas kā eksakta zinātne, kur jebkuras jaunas zināšanas nav vizuālu priekšstatu un no pieredzes apgūtu noteikumu rezultāts, bet gan loģiskas spriešanas un secinājumu rezultāts. Tas ir vienīgais veids, kā vienreiz un uz visiem laikiem noteikt jebkura matemātiskā priekšlikuma patiesumu. Pirms Pitagora deduktīvo metodi izmantoja tikai sengrieķu filozofs un zinātnieks Thales no Milētas, kurš dzīvoja 7.-6.gadsimta mijā pirms mūsu ēras. e. Viņš izteica pašu pierādījumu ideju, bet nesistemātiski, selektīvi to piemēroja, kā likums, acīmredzamiem ģeometriskiem apgalvojumiem, piemēram, "diametrs sadala apli uz pusēm". Pitagors gāja daudz tālāk. Tiek uzskatīts, ka viņš ieviesa pirmās definīcijas, aksiomas un pierādīšanas metodes, kā arī izveidoja pirmo ģeometrijas kursu, ko senie grieķi zināja ar nosaukumu "Pitagora tradīcija". Un viņš stāvēja pie skaitļu teorijas un stereometrijas pirmsākumiem.

Vēl viens svarīgs Pitagora nopelns ir krāšņas matemātiķu skolas pamats, kas vairāk nekā gadsimtu noteica šīs zinātnes attīstību Senā Grieķija. Pats termins “matemātika” ir saistīts arī ar viņa vārdu (no grieķu vārda μαθημa — mācība, zinātne), kas apvienoja četras saistītas disciplīnas, ko radīja Pitagors un viņa sekotāji - pitagorieši - zināšanu sistēmu: ģeometriju, aritmētiku, astronomiju un harmonikas.

Pitagora sasniegumus nav iespējams nošķirt no viņa audzēkņu sasniegumiem: pēc paražas viņi savas idejas un atklājumus piedēvēja savam Skolotājam. Agrīnie pitagorieši neatstāja nekādus rakstus, viņi visu informāciju viens otram nosūtīja mutiski. Tātad pēc 2500 gadiem vēsturniekiem nekas cits neatliek, kā rekonstruēt zudušās zināšanas pēc citu, vēlāku autoru transkripcijām. Atzīmēsim grieķus: lai gan viņi Pitagora vārdu apvija ar daudzām leģendām, viņi viņam nepiedēvēja neko tādu, ko viņš nevarētu atklāt vai attīstīt par teoriju. Un teorēma ar viņa vārdu nav izņēmums.

Tāds vienkāršs pierādījums

Nav zināms, vai Pitagors pats atklāja taisnleņķa trijstūra malu garumu attiecību vai aizņēmās šīs zināšanas. Senie autori apgalvoja, ka viņš pats, un mīlēja pārstāstīt leģendu par to, kā Pitagors par godu savam atklājumam upurēja vērsi. Mūsdienu vēsturnieki sliecas uzskatīt, ka teorēmu viņš uzzināja, iepazīstoties ar babiloniešu matemātiku. Mēs arī nezinām, kādā formā Pitagors formulēja teorēmu: aritmētiski, kā tas ir pieņemts mūsdienās, hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu vai ģeometriski, seno laiku garā, uzceltais kvadrāts. taisnleņķa trijstūra hipotenūzā ir vienāds ar uz viņa slidām uzbūvēto kvadrātu summu.

Tiek uzskatīts, ka tieši Pitagors sniedza pirmo pierādījumu teorēmai, kas nes viņa vārdu. Tas, protams, neizdzīvoja. Saskaņā ar vienu versiju, Pitagors varētu izmantot savā skolā izstrādāto proporciju doktrīnu. Uz to jo īpaši balstījās līdzības teorija, uz kuras balstās spriešana. Uzzīmēsim augstumu hipotenūzai c taisnleņķa trijstūrī ar kājiņām a un b. Mēs iegūstam trīs līdzīgus trīsstūrus, ieskaitot sākotnējo. To attiecīgās malas ir proporcionālas, a: c = m: a un b: c = n: b, no kurienes a 2 = c · m un b 2 = c · n. Tad a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (4. att.).

Šī ir tikai rekonstrukcija, ko ierosinājis viens no zinātnes vēsturniekiem, taču pierādījums, redz, ir pavisam vienkāršs: aizņem tikai dažas rindiņas, nevajag neko pabeigt būvēt, pārveidot, aprēķināt... nav pārsteidzoši, ka tas tika atklāts vairāk nekā vienu reizi. Tas ir ietverts, piemēram, Leonardo no Pizas (1220) "Ģeometrijas praksē", un tas joprojām ir sniegts mācību grāmatās.

Šāds pierādījums nebija pretrunā ar pitagoriešu idejām par samērojamību: sākotnēji viņi uzskatīja, ka jebkuru divu segmentu garumu attiecību un līdz ar to arī taisnvirziena figūru laukumus var izteikt, izmantojot naturālus skaitļus. Viņi neņēma vērā citus skaitļus, pat nepieļāva daļskaitļus, aizstājot tos ar attiecībām 1: 2, 2: 3 utt. Tomēr ironiskā kārtā pitagoriešu teorēma lika pitagoriešiem atklāt diagonāles nesamērojamību. laukuma un tā malas. Visi mēģinājumi skaitliski attēlot šīs diagonāles garumu - vienības kvadrātam tas ir vienāds ar √2 - neko nedeva. Izrādījās, ka ir vieglāk pierādīt, ka problēma nav atrisināma. Šādā gadījumā matemātiķiem ir pārbaudīta metode – pierādīšana ar pretrunu. Starp citu, tas tiek attiecināts arī uz Pitagoru.

Ar naturāliem skaitļiem neizteiktas attiecības esamība pielika punktu daudzām pitagoriešu idejām. Kļuva skaidrs, ka ar viņiem zināmajiem skaitļiem nepietiek, lai atrisinātu pat vienkāršas problēmas, nemaz nerunājot par visu ģeometriju! Šis atklājums bija pagrieziena punkts grieķu matemātikas, tās galvenās problēmas, attīstībā. Pirmkārt, tas noveda pie nesamērojamu lielumu doktrīnas izstrādes - iracionalitātes, bet pēc tam pie skaitļa jēdziena paplašināšanas. Citiem vārdiem sakot, ar viņu sākās gadsimtiem senā reālo skaitļu kopas izpētes vēsture.

Pitagora mozaīka

Ja jūs pārklājat plakni ar divu dažādu izmēru kvadrātiem, katru mazo kvadrātu apņemot ar četriem lieliem, jūs iegūstat Pitagora mozaīkas parketu. Šāds raksts jau sen rotā akmens grīdas, atgādinot senos Pitagora teorēmas pierādījumus (tātad arī tā nosaukums). Dažādos veidos uzliekot uz parketa kvadrātveida režģi, var iegūt taisnleņķa trijstūra malās uzbūvētu kvadrātu starpsienas, kuras ierosinājuši dažādi matemātiķi. Piemēram, ja sakārtosiet režģi tā, lai visi tā mezgli sakristu ar mazo kvadrātu augšējām labajām virsotnēm, viduslaiku persiešu matemātiķa an-Nairizi pierādījumam parādīsies zīmējuma fragmenti, kurus viņš ievietoja Eiklida komentāros. "Principi". Ir viegli redzēt, ka parketa sākotnējo elementu lielo un mazo kvadrātu laukumu summa ir vienāda ar viena uz tā uzliktā režģa kvadrāta laukumu. Un tas nozīmē, ka norādītā starpsiena patiešām ir piemērota parketa ieklāšanai: savienojot iegūtos daudzstūrus kvadrātos, kā parādīts attēlā, ar tiem var aizpildīt visu plakni bez atstarpēm un pārlaidumiem.

Kreativitātes potenciāls parasti tiek piedēvēts humanitārajām zinātnēm, atstājot dabaszinātnisko analīzi, praktisku pieeju un sausu formulu un skaitļu valodu. Matemātiku nevar klasificēt kā humanitāro priekšmetu. Bet bez radošuma "visu zinātņu karalienē" jūs netiksit tālu - cilvēki par to zina jau ilgu laiku. Kopš Pitagora laikiem, piemēram.

Skolas mācību grāmatās, diemžēl, parasti nav paskaidrots, ka matemātikā ir svarīgi ne tikai piebāzt teorēmas, aksiomas un formulas. Ir svarīgi saprast un sajust tās pamatprincipus. Un tajā pašā laikā mēģiniet atbrīvot savu prātu no klišejām un elementārām patiesībām - tikai tādos apstākļos dzimst visi lielie atklājumi.

Šādi atklājumi ietver to, ko šodien pazīstam kā Pitagora teorēmu. Ar tās palīdzību mēs centīsimies parādīt, ka matemātika ne tikai var, bet arī tai jābūt jautrai. Un, ka šis piedzīvojums ir piemērots ne tikai neliešiem biezās glāzēs, bet visiem, kas ir prāta stiprs un garā stiprs.

No jautājuma vēstures

Stingri sakot, lai gan teorēmu sauc par "Pitagora teorēmu", pats Pitagors to neatklāja. Taisnstūra trīsstūris un tā īpašās īpašības ir pētītas ilgi pirms tā. Šajā jautājumā ir divi polāri viedokļi. Saskaņā ar vienu versiju Pitagors bija pirmais, kurš atrada pilnīgu teorēmas pierādījumu. Saskaņā ar citu, pierādījums nepieder Pitagora autorībai.

Šodien vairs nevar pārbaudīt, kuram taisnība un kuram nav. Ir zināms tikai tas, ka Pitagora pierādījums, ja tāds kādreiz pastāvējis, nav saglabājies. Tomēr ir pieņēmumi, ka slavenais pierādījums no Eiklida elementiem varētu piederēt Pitagoram, un Eiklīds to tikai ierakstīja.

Mūsdienās arī zināms, ka problēmas par taisnleņķa trīsstūri ir atrodamas Ēģiptes avotos no faraona Amenemheta I laikiem, uz Babilonijas māla plāksnēm no karaļa Hamurabi valdīšanas, senindiešu traktātā Sulva Sutra un seno ķīniešu darbā Džou. -Bi Suan Jin.

Kā redzat, Pitagora teorēma ir nodarbinājusi matemātiķu prātus kopš seniem laikiem. Aptuveni 367 dažādi pierādījumi, kas pastāv šodien, kalpo kā apstiprinājums. Neviena cita teorēma nevar ar to sacensties šajā ziņā. Ievērojami pierādījumu autori ir Leonardo da Vinči un Amerikas Savienoto Valstu 20. prezidents Džeimss Gārfīlds. Tas viss liecina par šīs teorēmas ārkārtējo nozīmi matemātikā: lielākā daļa ģeometrijas teorēmu ir atvasinātas no tās vai vienā vai otrā veidā ar to saistītas.

Pitagora teorēmas pierādījumi

Skolas mācību grāmatas pārsvarā sniedz algebriskus pierādījumus. Bet teorēmas būtība ir ģeometrijā, tāpēc vispirms apskatīsim tos slavenās teorēmas pierādījumus, kas ir balstīti uz šo zinātni.

1. pierādījums

Lai iegūtu vienkāršāko Pitagora teorēmas pierādījumu taisnleņķa trijstūrim, jums jāiestata ideāli nosacījumi: ļaujiet trijstūrim būt ne tikai taisnleņķa, bet arī vienādsānu. Ir pamats uzskatīt, ka tas bija šāds trīsstūris, ko sākotnēji uzskatīja senie matemātiķi.

Paziņojums, apgalvojums "Kvadrāts, kas uzcelts uz taisnleņķa trijstūra hipotenūzas, ir vienāds ar kvadrātu summu, kas uzcelta uz tā kājām" var ilustrēt ar šādu zīmējumu:

Apskatiet vienādsānu taisnstūri ABC: uz hipotenūzas AC varat izveidot kvadrātu, kas sastāv no četriem trīsstūriem, kas vienādi ar sākotnējo ABC. Un uz kājām AB un BC, kas uzbūvēti uz kvadrāta, no kuriem katrs satur divus līdzīgus trīsstūrus.

Starp citu, šis zīmējums veidoja pamatu daudzām anekdotēm un karikatūrām, kas veltītas Pitagora teorēmai. Iespējams, slavenākais ir "Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos":

2. pierādījums

Šī metode apvieno algebru un ģeometriju, un to var uzskatīt par senās Indijas matemātiķa Bhaskari pierādījuma variantu.

Izveidojiet taisnleņķa trīsstūri ar malām a, b un c(1. att.). Pēc tam izveidojiet divus kvadrātus, kuru malas ir vienādas ar abu kāju garumu summu - (a+b). Katrā no kvadrātiem izveidojiet konstrukcijas, kā parādīts 2. un 3. attēlā.

Pirmajā kvadrātā izveidojiet četrus tādus pašus trīsstūrus kā 1. attēlā. Rezultātā tiek iegūti divi kvadrāti: viens ar malu a, otrs ar malu. b.

Otrajā kvadrātā četri līdzīgi trīsstūri veido kvadrātu, kura mala ir vienāda ar hipotenūzu c.

Konstruēto kvadrātu laukumu summa 2. attēlā ir vienāda ar kvadrāta laukumu, kuru mēs izveidojām ar malu c 3. attēlā. To var viegli pārbaudīt, aprēķinot kvadrātu laukumus attēlā. 2 pēc formulas. Un ierakstītā kvadrāta laukums 3. attēlā, no liela kvadrāta ar malu laukuma atņemot laukumus četriem vienādiem taisnleņķa trijstūriem, kas ierakstīti kvadrātā. (a+b).

Nosakot to visu, mums ir: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Izvērsiet iekavas, veiciet visus nepieciešamos algebriskos aprēķinus un iegūstiet to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Tajā pašā laikā laukums, kas ierakstīts 3. attēlā. kvadrātu var arī aprēķināt, izmantojot tradicionālo formulu S=c2. Tie. a2+b2=c2 Jūs esat pierādījis Pitagora teorēmu.

3. pierādījums

Tas pats senindiešu pierādījums ir aprakstīts 12. gadsimtā traktātā "Zināšanu kronis" ("Siddhanta Shiromani"), un kā galveno argumentu autore izmanto aicinājumu, kas adresēts studentu matemātiskajām dotībām un novērošanas spējām. sekotāji: “Paskaties!”.

Bet mēs analizēsim šo pierādījumu sīkāk:

Kvadrāta iekšpusē izveidojiet četrus taisnleņķa trīsstūrus, kā norādīts zīmējumā. Apzīmēta lielā kvadrāta puse, kas vienlaikus ir arī hipotenūza Ar. Sauksim trīsstūra kājas a un b. Saskaņā ar zīmējumu iekšējā kvadrāta puse ir (a-b).

Izmantojiet kvadrātveida laukuma formulu S=c2 lai aprēķinātu ārējā kvadrāta laukumu. Un tajā pašā laikā aprēķiniet to pašu vērtību, saskaitot iekšējā kvadrāta laukumu un četru taisnleņķa trīsstūru laukumu: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Varat izmantot abas opcijas, lai aprēķinātu kvadrāta laukumu, lai pārliecinātos, ka tās dod vienādu rezultātu. Un tas dod jums tiesības to pierakstīt c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Risinājuma rezultātā jūs iegūsit Pitagora teorēmas formulu c2=a2+b2. Teorēma ir pierādīta.

4. pierādījums

Šo ziņkārīgo seno ķīniešu liecību sauca par "līgavas krēslu" - krēslam līdzīgās figūras dēļ, kas izriet no visām konstrukcijām:

Tas izmanto zīmējumu, ko mēs jau redzējām 3. attēlā otrajā pierādījumā. Un iekšējais kvadrāts ar malu c ir konstruēts tāpat kā senindiešu pierādījumā, kas sniegts iepriekš.

Ja jūs prātā nogriezāt divus zaļus taisnleņķa trīsstūrus no zīmējuma 1. attēlā, pārnesiet tos uz pretējās puses pievieno kvadrātu ar malu c un hipotenūzām ceriņu trijstūra hipotenūzām, iegūstat figūru ar nosaukumu “līgavas krēsls” (2. att.). Skaidrības labad to pašu var izdarīt ar papīra kvadrātiem un trīsstūriem. Jūs redzēsiet, ka "līgavas krēslu" veido divi kvadrāti: mazi ar sāniem b un liels ar sānu a.

Šīs konstrukcijas ļāva senajiem ķīniešu matemātiķiem un mums, kas viņiem sekoja, nonākt pie tā c2=a2+b2.

5. pierādījums

Tas ir vēl viens veids, kā atrast risinājumu Pitagora teorēmai, pamatojoties uz ģeometriju. To sauc par Garfīlda metodi.

Izveidojiet taisnleņķa trīsstūri ABC. Mums tas ir jāpierāda BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Lai to izdarītu, turpiniet kāju AC un izveidojiet segmentu CD, kas ir vienāda ar kāju AB. Apakšējais perpendikuls AD līnijas segments ED. Segmenti ED un AC ir vienādi. savienojiet punktus E un AT, kā arī E un NO un iegūstiet zīmējumu, piemēram, attēlā zemāk:

Lai pierādītu torni, mēs atkal ķeramies pie jau pārbaudītās metodes: mēs atrodam iegūtās figūras laukumu divos veidos un pielīdzinām izteiksmes viena otrai.

Atrodiet daudzstūra laukumu GULTA var izdarīt, pievienojot trīs trīsstūri, kas to veido. Un viens no tiem ERU, ir ne tikai taisnstūrveida, bet arī vienādsānu. Neaizmirsīsim arī to AB = CD, AC=ED un BC=CE- tas ļaus mums vienkāršot ierakstīšanu un nepārslogot to. Tātad, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Tajā pašā laikā ir skaidrs, ka GULTA ir trapecveida forma. Tāpēc mēs aprēķinām tā laukumu, izmantojot formulu: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Mūsu aprēķiniem ērtāk un skaidrāk ir attēlot segmentu AD kā segmentu summu AC un CD.

Uzrakstīsim abus veidus, kā aprēķināt figūras laukumu, ievietojot starp tiem vienādības zīmi: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Mēs izmantojam mums jau zināmo un iepriekš aprakstīto segmentu vienādību, lai vienkāršotu apzīmējuma labo pusi: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Un tagad mēs atveram iekavas un pārveidojam vienlīdzību: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Pabeidzot visas pārvērtības, mēs iegūstam tieši to, kas mums nepieciešams: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Mēs esam pierādījuši teorēmu.

Protams, šis pierādījumu saraksts nebūt nav pilnīgs. Pitagora teorēmu var pierādīt arī izmantojot vektorus, kompleksos skaitļus, diferenciālvienādojumi, stereometrija utt. Un pat fiziķi: ja, piemēram, šķidrumu ielej kvadrātveida un trīsstūrveida tilpumos, kas ir līdzīgi tiem, kas parādīti zīmējumos. Lejot šķidrumu, ir iespējams pierādīt laukumu vienādību un rezultātā pašu teorēmu.

Daži vārdi par Pitagora trīnīšiem

Šis jautājums ir maz vai nav pētīts skolas mācību programmā. Tikmēr tas ir ļoti interesants un tam ir liela nozīme ģeometrijā. Pitagora trīskārši tiek izmantoti daudzu matemātisko problēmu risināšanai. Ideja par tām var jums noderēt tālākizglītībā.

Tātad, kas ir Pitagora trīnīši? Tā sauktie naturālie skaitļi, kas savākti pa trīs, no kuriem divu kvadrātu summa ir vienāda ar trešo skaitli kvadrātā.

Pitagora trīskārši var būt:

primitīvs (visi trīs skaitļi ir relatīvi pirmskaitļi);
neprimitīvs (ja katru trīskārša skaitli reizina ar to pašu skaitli, jūs iegūstat jaunu trīskāršu, kas nav primitīvs).

Jau pirms mūsu ēras senie ēģiptieši bija aizrāvušies ar Pitagora trīnīšu skaita mānija: uzdevumos viņi uzskatīja taisnleņķa trīsstūri ar malām 3,4 un 5 vienības. Starp citu, jebkurš trīsstūris, kura malas ir vienādas ar skaitļiem no Pitagora trīskārša, pēc noklusējuma ir taisnstūrveida.

Pitagora trīskāršu piemēri: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) utt.

Teorēmas praktiskais pielietojums

Pitagora teorēma atrod pielietojumu ne tikai matemātikā, bet arī arhitektūrā un celtniecībā, astronomijā un pat literatūrā.

Vispirms par būvniecību: tajā atrod Pitagora teorēma plašs pielietojums uzdevumos dažādi līmeņi grūtības. Piemēram, paskatieties uz romānikas logu:

Loga platumu apzīmēsim kā b, tad lielā pusloka rādiusu var apzīmēt kā R un izteikt cauri b: R=b/2. Mazāku pusloku rādiusu var izteikt arī ar b: r=b/4. Šajā problēmā mūs interesē loga iekšējā apļa rādiuss (sauksim to lpp).

Pitagora teorēma vienkārši noder, lai aprēķinātu R. Lai to izdarītu, mēs izmantojam taisnleņķa trīsstūri, kas attēlā ir norādīts ar punktētu līniju. Trijstūra hipotenūza sastāv no diviem rādiusiem: b/4+p. Viena kāja ir rādiuss b/4, cits b/2-p. Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs rakstām: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Tālāk mēs atveram iekavas un iegūstam b 2/16+ bp/2 + p 2 \u003d b 2/16 + b 2/4 bp + p 2. Pārveidosim šo izteiksmi par bp/2=b 2 /4-bp. Un tad mēs sadalām visus terminus b, mēs dodam līdzīgus, lai iegūtu 3/2*p=b/4. Un galu galā mēs to atrodam p=b/6- kas mums bija vajadzīgs.

Izmantojot teorēmu, jūs varat aprēķināt spāru garumu divslīpju jumtam. Nosakiet, cik augstam ir jābūt mobilajam tornim, lai signāls sasniegtu noteiktu vieta. Un pat stabili instalēt Ziemassvētku eglīte pilsētas laukumā. Kā redzat, šī teorēma dzīvo ne tikai mācību grāmatu lapās, bet bieži vien noder arī reālajā dzīvē.

Kas attiecas uz literatūru, Pitagora teorēma ir iedvesmojusi rakstniekus kopš senatnes un turpina to darīt arī šodien. Piemēram, deviņpadsmitā gadsimta vācu rakstnieks Adelberts fon Šamisso iedvesmojās uzrakstīt sonetu:

Patiesības gaisma drīz neizklīdīs,
Bet, spīdot, tas diez vai izklīdīs
Un, tāpat kā pirms tūkstošiem gadu,
Neizraisīs šaubas un strīdus.

Gudrākais, kad tas skar aci
Patiesības gaisma, paldies dieviem;
Un simts buļļu, sadurti, melo -
Laimīgā Pitagora atgriešanās dāvana.

Kopš tā laika buļļi izmisīgi rūk:
Uz visiem laikiem uzbudināja vēršu cilti
šeit minēts notikums.

Viņi domā, ka ir pienācis laiks
Un atkal viņi tiks upurēti
Kāda lieliska teorēma.

(tulkojis Viktors Toporovs)

Un divdesmitajā gadsimtā padomju rakstnieks Jevgeņijs Veltistovs savā grāmatā "Elektronikas piedzīvojumi" veltīja veselu nodaļu Pitagora teorēmas pierādījumiem. Un puse no stāsta par divdimensiju pasauli, kas varētu pastāvēt, ja Pitagora teorēma kļūtu par pamatlikumu un pat reliģiju vienai pasaulei. Tajā dzīvot būtu daudz vieglāk, bet arī daudz garlaicīgāk: piemēram, neviens tur nesaprot vārdu “apaļš” un “pūkains” nozīmi.

Un grāmatā “Elektronikas piedzīvojumi” autore ar matemātikas skolotājas Taratara muti saka: “Matemātikā galvenais ir domu kustība, jaunas idejas.” Tieši šis radošais domu lidojums rada Pitagora teorēmu – ne velti tai ir tik daudz dažādu pierādījumu. Tas palīdz iziet ārpus ierastā un paskatīties uz pazīstamām lietām jaunā veidā.

Secinājums

Šis raksts tika izveidots, lai jūs varētu paskatīties tālāk par skolas mācību programmu matemātikā un apgūt ne tikai tos Pitagora teorēmas pierādījumus, kas doti mācību grāmatās "Ģeometrija 7-9" (L.S. Atanasjans, V.N. Rudenko) un "Ģeometrija 7 -11. ” (A.V. Pogorelovs), bet arī citi kuriozi veidi, kā pierādīt slaveno teorēmu. Un arī skatiet piemērus, kā Pitagora teorēmu var pielietot ikdienas dzīvē.

Pirmkārt, šī informācija ļaus jums iegūt augstākus punktus matemātikas stundās — informācija par šo tēmu no papildu avotiem vienmēr tiek augstu novērtēta.

Otrkārt, mēs vēlējāmies jums palīdzēt saprast, cik interesanta ir matemātika. Pārliecinieties par konkrēti piemēri ka vienmēr ir vieta radošumam. Mēs ceram, ka Pitagora teorēma un šis raksts iedvesmos jūs veikt savus pētījumus un aizraujošus atklājumus matemātikā un citās zinātnēs.

Pastāstiet mums komentāros, ja rakstā sniegtie pierādījumi jums šķita interesanti. Vai šī informācija jums bija noderīga jūsu studijās? Pastāstiet mums, ko jūs domājat par Pitagora teorēmu un šo rakstu - mēs ar prieku pārrunāsim to visu ar jums.

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Neliels pantiņš šai teorēmai, kas tika izgudrots neilgi pēc pierādīšanas, tieši pierāda hipotēzes īpašības: "Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos." Šī divrinde tika noglabāta daudzu cilvēku atmiņā - līdz šai dienai dzejolis tiek atcerēts aprēķinos.
Šo teorēmu nosauca par "Pitagora biksēm", jo, zīmējot vidū, tika iegūts taisnleņķa trīsstūris, kura malās bija kvadrāti. Pēc izskata šis zīmējums atgādināja bikses – no šejienes arī radies hipotēzes nosaukums.
Pitagors lepojās ar izstrādāto teorēmu, jo šī hipotēze no līdzīgām atšķiras ar maksimālo pierādījumu daudzumu. Svarīgi: vienādojums tika iekļauts Ginesa rekordu grāmatā 370 patiesu pierādījumu dēļ.
Hipotēzi daudzos veidos pierādīja milzīgs skaits matemātiķu un profesoru no dažādām valstīm.. Angļu matemātiķis Džonss drīz pēc hipotēzes izziņošanas to pierādīja ar diferenciālvienādojuma palīdzību.
Patlaban neviens nezina paša Pitagora teorēmas pierādījumu. Fakti par matemātiķa pierādījumiem mūsdienās nav zināmi nevienam. Tiek uzskatīts, ka Eiklida zīmējumu pierādījums ir Pitagora pierādījums. Tomēr daži zinātnieki strīdas ar šo apgalvojumu: daudzi uzskata, ka Eiklīds neatkarīgi pierādīja teorēmu, bez hipotēzes veidotāja palīdzības.
Pašreizējie zinātnieki ir atklājuši, ka lielais matemātiķis nebija pirmais, kurš atklāja šo hipotēzi.. Vienādojums bija zināms ilgi pirms Pitagora atklājuma. Šim matemātiķim izdevās tikai apvienot hipotēzi.
Pitagors nedeva vienādojumam nosaukumu "Pitagora teorēma". Šis nosaukums tika fiksēts pēc "skaļas divrindes". Matemātiķis tikai vēlējās, lai visa pasaule atzītu un izmantotu viņa pūles un atklājumus.
Morics Kantors - lielākais matemātiķis atrada un ieraudzīja piezīmes ar zīmējumiem uz sena papirusa. Neilgi pēc tam Kantors saprata, ka šī teorēma ēģiptiešiem bija zināma jau 2300. gadā pirms mūsu ēras. Tikai tad neviens to neizmantoja un necentās pierādīt.
Pašreizējie zinātnieki uzskata, ka hipotēze bija zināma jau 8. gadsimtā pirms mūsu ēras. Tā laika Indijas zinātnieki atklāja aptuvenu ar taisniem leņķiem apveltīta trīsstūra hipotenūzas aprēķinu. Tiesa, toreiz ar aptuveniem aprēķiniem vienādojumu neviens nevarēja droši pierādīt.
Lielais matemātiķis Bartels van der Vērdens pēc hipotēzes pierādīšanas izdarīja svarīgu secinājumu: “Par grieķu matemātiķa nopelniem uzskata nevis virziena un ģeometrijas atklāšanu, bet tikai tā pamatojumu. Pitagora rokās bija skaitļošanas formulas, kuru pamatā bija pieņēmumi, neprecīzi aprēķini un neskaidras idejas. Tomēr izcilajam zinātniekam izdevās to pārvērst par eksakto zinātni.
Slavens dzejnieks stāstīja, ka dienā, kad tika atklāts viņa zīmējums, viņš vēršiem uzcēla krāšņu upuri.. Tieši pēc hipotēzes atklāšanas izplatījās baumas, ka simts vēršu upuris "klejoja pa grāmatu un publikāciju lapām". Aprāts joks līdz pat šai dienai, ka kopš tā laika visi buļļi baidās no jauna atklājuma.
Pierādījums tam, ka Pitagors nav izdomājis dzejoli par biksēm, lai pierādītu viņa izvirzītos zīmējumus: dižā matemātiķa dzīves laikā bikšu vēl nebija. Tie tika izgudroti vairākus gadu desmitus vēlāk.
Pekka, Leibnics un vairāki citi zinātnieki mēģināja pierādīt iepriekš zināmo teorēmu, taču nevienam tas neizdevās.
Zīmējumu nosaukums "Pitagora teorēma" nozīmē "pārliecināšana ar runu". Šis ir vārda Pitagors tulkojums, ko matemātiķis pieņēma kā pseidonīmu.
Pitagora pārdomas par viņa paša valdīšanu: uz zemes esošā noslēpums slēpjas skaitļos. Galu galā matemātiķis, paļaujoties uz savu hipotēzi, pētīja skaitļu īpašības, atklāja vienmērīgumu un dīvainību un izveidoja proporcijas.

Mēs ceram, ka jums patika atlase ar attēliem - Interesanti fakti par Pitagora teorēmu: uzziniet jaunas lietas par slaveno teorēmu (15 fotogrāfijas) tiešsaistē labā kvalitātē. Lūdzu, atstājiet savu viedokli komentāros! Katrs viedoklis mums ir svarīgs.