Для цілих чисел n більше 2 рівняння x n + y n = z n немає ненульових рішень у натуральних числах.
Ви, мабуть, пам'ятаєте зі шкільних часів теорему Піфагора: Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Можливо, ви пам'ятаєте і класичний прямокутний трикутник зі сторонами, довжини яких співвідносяться як 3:4:5. Для нього теорема Піфагора виглядає так:
Це приклад рішення узагальненого рівняння Піфагора в ненульових цілих числах при n= 2. Велика теорема Ферма (її також називають «Великою теоремою Ферма» та «Останньою теоремою Ферма») полягає у твердженні, що при значеннях n> 2 рівняння виду x n + y n = z nне мають ненульових рішень у натуральних числах.
Історія Великої теореми Ферма дуже цікава і повчальна, і не лише для математиків. П'єр де Ферма зробив внесок у розвиток різних галузей математики, проте основна частина його наукової спадщини була опублікована лише посмертно. Справа в тому, що математика для Ферма була чимось подібним до хобі, а не професійним заняттям. Він листувався з провідними математиками свого часу, проте публікувати свої роботи не прагнув. Наукові праці Ферма в основному виявлені у формі приватного листування та уривчастих записів, часто зроблених на полях різних книг. Саме на полях (другого тому давньогрецької «Арифметики» Діофанта. - Прим. перекладача) Незабаром після смерті математика нащадки і виявили формулювання знаменитої теореми та приписку:
« Я знайшов цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі».
На жаль, судячи з усього, Ферма так і не спромігся записати знайдений ним «чудовий доказ», і нащадки безуспішно шукали його три з лишком століття. З усієї розрізненої наукової спадщини Ферма, що містить чимало дивовижних тверджень, саме Велика теорема вперто не піддавалася рішенню.
Хто тільки не брався за доказ Великої теореми Ферма – марно! Інший великий французький математик, Рене Декарт (René Descartes, 1596-1650), називав Ферма "хвалько", а англійський математик Джон Уолліс (John Wallis, 1616-1703) - і зовсім "чортовим французом". Сам Ферма, щоправда, таки залишив після себе доказ своєї теореми для випадку n= 4. З підтвердженням для n= 3 впорався великий швейцарсько-російський математик XVIII століття Леонард Ейлер (1707-83), після чого, не зумівши знайти доказів n> 4, жартома запропонував влаштувати обшук у будинку Ферма, щоб знайти ключ до втраченого доказу. У XIX столітті нові методи теорії чисел дозволили довести твердження для багатьох цілих чисел у межах 200, проте, знову ж таки, не для всіх.
У 1908 році було засновано премію у розмірі 100 000 німецьких марок за вирішення цього завдання. Призовий фонд був заповіданий німецьким промисловцем Паулем Вольфскелем (Paul Wolfskehl), який, за переказами, збирався покінчити життя самогубством, але так захопився Великою теоремою Ферма, що передумав помирати. З появою арифмометрів, а потім комп'ютерів планка значень nстала підніматися все вище - до 617 на початок Другої світової війни, до 4001 у 1954 році, до 125 000 у 1976 році. Наприкінці XX століття найпотужніші комп'ютери військових лабораторій у Лос-Аламосі (Нью-Мексико, США) були запрограмовані на вирішення завдання Ферма у фоновому режимі (за аналогією до режиму екранної заставки персонального комп'ютера). Таким чином вдалося показати, що теорема вірна для неймовірно великих значень x, y, zі nАле суворим доказом це послужити не могло, оскільки будь-які наступні значення nчи трійки натуральних чисел могли спростувати теорему загалом.
Нарешті 1994 року англійський математик Ендрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles, р. 1953), працюючи в Прінстоні, опублікував доказ Великої теореми Ферма, яке, після деяких доробок, було визнано вичерпним. Доказ зайняв понад сто журнальних сторінок та ґрунтувався на використанні сучасного апарату вищої математики, який у епоху Ферма розроблено був. То що тоді мав на увазі Ферма, залишаючи на полях книги повідомлення про те, що доказ їм знайдено? Більшість математиків, з якими я розмовляв на цю тему, вказували, що за століття нагромадилося більш ніж досить некоректних доказів Великої теореми Ферма, і що, швидше за все, сам Ферма знайшов подібний доказ, проте не зміг побачити в ньому помилки. Втім, не виключено, що таки є якийсь короткий і витончений доказ Великої теореми Ферма, який ніхто досі не знайшов. З упевненістю можна стверджувати лише одне: сьогодні ми точно знаємо, що теорема вірна. Більшість математиків, я думаю, беззастережно погодяться з Ендрю Уайлсом, який помітив щодо свого доказу: «Тепер нарешті мій розум спокійний».
Заздрісники стверджують, що французький математик П'єр Ферма вписав своє ім'я в історію лише однією фразою. На полях рукопису з формулюванням знаменитої теореми в 1637 він зробив позначку: "Я знайшов дивовижне рішення, але тут обмаль місця, щоб його помістити". Тоді й почалися дивовижні математичні перегони, до яких поряд із видатними вченими включилася армія дилетантів.
У чому підступність завдання Ферма? На перший погляд вона зрозуміла навіть школяреві.
В основі – відома кожному теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: х 2 + у 2 = z 2 . Ферма стверджував: рівняння за будь-яких ступенів більше двох не має рішення в цілих числах.
Здавалося б просто. Простягни руку, і ось відповідь. Не дивно, що академія різних країн, наукові інститути, навіть редакції газет було завалено десятками тисяч доказів. Їхня кількість безпрецедентна, поступається хіба що проектам "вічних двигунів". Але якщо ці божевільні ідеї серйозна наука давно не розглядає, то роботи "фермістів" чесно та зацікавлено вивчає. І, на жаль, знаходить помилки. Кажуть, що за три з лишком століття утворився цілий математичний цвинтар рішень теореми.
Не дарма кажуть: близький лікоть, а не вкусиш. Минали роки, десятиліття, століття, і завдання Ферма здавалося дедалі дивовижнішим і привабливим. Начебто простенька, вона виявилася не по зубах прогресу, що стрімко нарощує м'язи. Людина вже розщепила атом, дісталася гена, ступила на Місяць, а Ферма не давалася, продовжуючи манити нащадків хибними надіями.
Проте спроби здолати наукову вершину не пройшли даремно. Перший крок зробив великий Ейлер, довівши теорему четвертого ступеня, потім третьої. Наприкінці ХІХ століття німець Ернст Куммер довів число ступенів до ста. Зрештою, озброївшись комп'ютерами, вчені збільшили цю цифру до 100 тисяч. Але Ферма говорив про будь-які ступені. У цьому полягала вся проблема.
Звичайно, мучилися вчені над завданням не через спортивний інтерес. Знаменитий математик Давид Гільберт говорив, що теорема - це приклад, начебто малозначна проблема може вплинути на науку. Працюючи над нею, вчені відкрили нові математичні горизонти, наприклад, були закладені фундаменти теорії чисел, алгебри, теорії функцій.
І все ж таки Велика теорема була в 1995 році підкорена. Її рішення представив американець із Прінстонського університету Ендрю Вайлз, і воно офіційно визнане науковою спільнотою. Понад сім років життя він віддав, щоб знайти доказ. На думку вчених, ця видатна роботазвела докупи праці багатьох математиків, відновивши втрачені зв'язки між різними її розділами.
Отже, вершина взята, і наука відповіла, - сказав кореспонденту "РГ" вчений секретар Відділення математики Російської академії наук, доктор технічних наук Юрій Вишняков. - Теорему доведено, хай і не найпростішим способом, на чому наполягав сам Ферма. А тепер охочі можуть надрукувати свої варіанти.
Проте сімейство "фермістів" не збирається визнавати доказ Уайлса. Ні, вони не спростовують рішення американця, адже воно дуже складне, а тому зрозуміле лише вузькому колу фахівців. Але не минає тижня, щоб в Інтернеті не з'явилося нове одкровення чергового ентузіаста, який "нарешті поставив крапку в багаторічній епопеї".
До речі, буквально вчора до редакції "РГ" зателефонував один із найстаріших у нашій країні "фермістів" Всеволод Ярош: "А ви знаєте, що теорему Ферма я довів ще до Уайлса. Більш того, потім знайшов у нього помилку, про що написав видатному нашому математику академіку Арнольду з проханням надрукувати про це в науковому журналі. Тепер чекаю на відповідь. Переписуюсь із цього приводу і з французькою академією наук".
І ось щойно, як повідомляється в ряді ЗМІ, з "легкою витонченістю розкрив велику таємницюматематики", ще один ентузіаст - колишній генеральний конструктор ПО "Політ" з Омська, доктор технічних наук Олександр Ільїн. Рішення виявилося настільки простим і коротким, що помістилося на маленькій ділянці газетної площі одного з центральних видань.
Редакція "РГ" звернулася до Інституту математики ім. Стеклова РАН із проханням оцінити це рішення. Вчені були категоричними: не можна коментувати газетну публікацію. Але після довгих умовлянь і зважаючи на підвищений інтерес до знаменитого завдання, погодилися. За їх словами, в опублікованому черговому доказі допущено кілька принципових помилок. До речі, їх міг би помітити навіть студент математичного факультету.
І все ж редакція хотіла отримати інформацію з перших рук. Тим більше що вчора в академії авіації та повітроплавання Ільїн мав надати свій доказ. Проте виявилось, що про таку академію мало хто знає навіть серед спеціалістів. А коли таки насилу вдалося розшукати телефон вченого секретаря цієї організації, то, як з'ясувалося, він навіть не підозрював, що саме в них має відбутися така історична подія. Словом, кореспондентові "РГ" стати свідком світової сенсації так і не вдалося.
НОВИНИ НАУКИ ТА ТЕХНІКИ
УДК 51:37;517.958
А.В. Коновка, к.т.н.
Академія державної протипожежної служби МНС Росії ВЕЛИКА ТЕОРЕМА ФЕРМА ДОКАЗАНА. ЧИ НІ?
Протягом кількох століть довести, що рівняння xn+yn=zn при n>2 не можна в раціональних, отже, і цілих числах не вдавалося. Народилося це завдання під авторством французького юриста П'єра Ферма, який паралельно професійно займався математикою. Її рішення визнається за американським учителем математики Ендрю Вайлсом. Це визнання тривало з 1993 по 1995 рік.
THE GREAT FERMA"S THEOREM IS PROVED. OR NO?
The dramatic history of Fermat's last theorem providing is considered. It took almost four hundred years. Pierre Fermat wrote little. He wrote in compressed style. на дошці рациональних номерів і integers, якщо n>2 був віднесений до Fermat"s commentary те, що ви знайдете необхідний remarkable proving to цей statement. The descendants були невідповідні до цього proving. Останній цей стан був названий Fermat's останній theorem. The world best mathematicians broke lance over this theorem without result. в 1993, на теорії номерів конференція в Cambridge, математичний Princeton University Andrew Whiles повідомила, що Fermat's останній theorem proving is gotten. However it був early to triumph.
У 1621 році французьким літератором та любителем математики Клодом Гаспаром Баше де Мезіріаком був виданий грецький трактат "Арифметики" Діофанта з латинським перекладом та коментарями. Розкішна, з надзвичайно широкими полями "Арифметика", потрапила до рук двадцятирічного Ферма і на довгі роки стала його настільною книгою. На її полях він залишив 48 зауважень, які містять відкриті факти про властивості чисел. Тут же, на полях "Арифметики" була сформульована велика теорема Ферма: "Неможливо розкласти куб на два куби або біквадрат на два біквадрати, або взагалі ступінь, більший за два, на два ступеня з тим же показником; я знайшов цьому воістину чудовий доказ, який через нестачу місця не може поміститися на цих полях. До речі, на латині це виглядає таким чином: «Cubum autem in duos cubos, aut quadratum-quadratum in duos quadratum-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».
Великий французький математик П'єр Ферма (1601-1665) розвинув метод визначення площ та обсягів, створив новий метод дотичних та екстремумів. Поряд з Декартом він став творцем аналітичної геометрії, разом з Паскалем стояв біля витоків теорії ймовірностей, в галузі методу нескінченно малих дав загальне правило диференціювання і довів у загальному вигляді правило інтегрування статечної функції... Але, головне, з цим ім'ям пов'язана одна з найбільш загадкових і драматичних історій, які коли-небудь приголомшували математику - історія доказу великої теореми Ферма. Нині цю теорему висловлюють як простого твердження: рівняння xn + yn = zn при n>2 нерозв'язне у раціональних, отже, і цілих числах. До речі, для випадку n = 3 цю теорему в X столітті намагався довести середньоазіатський математик Ал-Ходжанді, але його доказ не зберігся.
Уродженець півдня Франції, П'єр Ферма отримав юридичну освіту і з 1631 був радником парламенту міста Тулузи (тобто вищого суду). Після робочого дня у стінах парламенту, він приймався за математику і відразу занурювався у зовсім інший світ. Гроші, престиж, суспільне визнання - все це не мало для нього жодного значення. Наука ніколи не ставала для нього заробітком, не перетворювалася на ремесло, завжди залишаючись лише захоплюючою грою розуму, зрозумілою лише одиницям. З ними він і вів своє листування.
Ферма ніколи не писав наукових працьу нашому звичному розумінні. А в його листуванні з друзями завжди є певний виклик, навіть своєрідна провокація, а аж ніяк не академічний виклад проблеми та її вирішення. Тому багато хто з його листів згодом так і стали іменуватися: викликом.
Можливо, саме тому він так і не здійснив свого наміру написати спеціальний твір з теорії чисел. А тим часом це була його найулюбленіша область математики. Саме їй Ферма присвятив найнатхненніші рядки своїх листів. "Арифметика, - писав він, - має свою власну область, теорію цілих чисел. Ця теорія була лише злегка торкнута Евклідом і була досить розроблена його послідовниками (якщо тільки вона не містилася в тих роботах Діофанта, яких нас позбавило руйнівну дію часу). Арифметики, отже, мають її розвинути та відновити".
Чому ж сам Ферма не боявся руйнівної дії часу? Писав він мало і завжди дуже стисло. Але найголовніше, він не публікував свої роботи. За його життя вони циркулювали лише у рукописах. Тому не дивно, що результати Ферма з теорії чисел дійшли до нас у розрізненому вигляді. Але, мабуть, мав рацію Булгаков: великі рукописи не горять! Роботи Ферма залишились. Вони залишилися в його листах до друзів: ліонському вчителю математики Жаку де Біллі, співробітнику монетного двору Бернар Френікель де Бессі, Марсенні, Декарту, Блез Паскалю... Залишилася "Арифметика" Діофанта з його зауваженнями на полях, які після смерті Ферма увійшли разом з коментарями Баші у нове видання Діофанта, випущене старшим сином Самюелем у 1670 році. Не збереглося лише докази.
За два роки до смерті Ферма надіслав своєму другу Каркаві лист-заповіт, який увійшов до історії математики під назвою «Зведення нових результатів у науці про числа». У цьому листі Ферма довів своє знамените твердження для випадку п = 4. Але тоді його цікавило, швидше за все, не саме твердження, а відкритий ним метод доказів, названий самим Ферма нескінченним чи невизначеним спуском.
Рукописи не горять. Але, якби не самовідданість Самюеля, який зібрав після смерті батька всі його математичні нариси і невеликі трактати, а потім видав їх у 1679 під назвою «Різні математичні твори», вченим математикам багато б довелося відкривати і перевідкривати заново. Але й після їх видання проблеми, поставлені великим математиком, пролежали без руху понад сімдесят років. І це не дивно. У тому вигляді, в якому вони з'явилися в пресі, теоретико-числові результати П. Ферма постали перед фахівцями у вигляді серйозних, далеко не завжди зрозумілих сучасникам проблем майже без доказів і вказівок на внутрішні логічні зв'язки між ними. Можливо, без стрункої, продуманої теорії і криється у відповідь питання, чому сам Ферма не зібрався видати книжку з теорії чисел. Через сімдесят років цими роботами зацікавився Л. Ейлер, і це було справді їх другим народженням.
Математика дорого заплатила за своєрідну манеру Ферма викладати свої результати, начебто спеціально опускаючи їх докази. Але, якщо Ферма стверджував, що довів ту чи іншу теорему, то згодом цю теорему обов'язково доводили. Проте з великою теоремою вийшла затримка.
Загадка завжди хвилює уяву. Цілі континенти підкорила загадкова усмішка Джоконди; теорія відносності як ключ до загадки просторово-часових зв'язків стала найпопулярнішою фізичною теорієюстоліття. І можна сміливо стверджувати, що не було іншої такої математичної проблеми, яка була б така популярна, як вели__93
Наукові та освітні проблеми цивільного захисту
ка теорема Ферма. Спроби довести її призвели до створення великого розділу математики - теорії чисел алгебри, але (на жаль!) сама теорема залишалася недоведеною. У 1908 році німецький математик Вольфскель заповідав 100 000 марок тому, хто доведе теорему Ферма. Це була величезна на той час сума! Одного разу можна було стати не лише знаменитим, а й казково розбагатіти! Тож не дивно, що гімназисти навіть далекої від Німеччини Росії навперебій кинулися доводити велику теорему. Що вже казати про професійних математиків! Але... марно! Після Першої світової війни гроші знецінилися, і потік листів із псевдодоказами почав вичерпуватися, хоча зовсім, звичайно, так і не припинився. Розповідають, що відомий німецький математик Едмунд Ландау заготовляв друковані формуляри для розсилки авторам доказів теореми Ферма: "На стор ... у рядку ... є помилка". (Знаходити помилку доручалося доценту.) Курйозів та анекдотів, пов'язаних з доказом цієї теореми, набралося стільки, що з них можна було б скласти книгу. Останнім анекдотом виглядає детектив О. Марініної «Збіг обставин», який екранізований і пройшов телеекранами країни в січні 2000 року. У ньому недоведену усіма своїми великими попередниками теорему доводить наш із вами співвітчизник і претендує на Нобелівську премію. Як відомо, винахідник динаміту проігнорував у своєму заповіті математиків, тож автор доказу міг претендувати хіба що на Філдсовську золоту медаль – найвищу міжнародну нагороду, затверджену самими математиками у 1936 році.
У класичній роботі видатного вітчизняного математика А.Я. Хінчина, присвяченій великій теоремі Ферма, даються відомості з історії цієї проблеми та приділяється увага методу, яким міг користуватися Ферма при доказі своєї теореми. Наводяться докази для випадку п = 4 і короткий оглядінших найважливіших результатів.
Але на момент написання детектива, а тим більше, на момент його екранізації загальний доказ теореми було вже знайдено. 23 червня 1993 року на конференції з теорії чисел у Кембриджі математик з Прінстона Ендрю Уайлс анонсував, що доказ великої теореми Ферма отримано. Але зовсім не так, як обіцяв сам Ферма. Той шлях, яким пішов Ендрю Уайлс, грунтувався зовсім на методах елементарної математики. Він займався так званою теорією еліптичних кривих.
Щоб отримати уявлення про еліптичні криві, необхідно розглянути плоску криву, задану рівнянням третього ступеня
У(х,у) = а30Х + а21х2у + ... + а1х + а2у + а0 = 0. (1)
Усі такі криві розбиваються на два класи. До першого класу відносяться ті криві, які мають точки загострення (як, наприклад, напівкубічна парабола у2 = а2-Х з точкою загострення (0; 0)), точки самоперетину (як Декартов лист х3+у3-3аху = 0, у точці (0; 0)), а також криві, для яких многочлен Дх,у) подається у вигляді
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
де ^(х,у) та ^(х,у) - багаточлени менших ступенів. Криві цього класу називаються виродженими кривими третього ступеня. Другий клас кривих утворюють невироджені криві; ми називатимемо їх еліптичними. До таких може бути віднесений, наприклад, Локон Аньєзі (х2 + а2) у - а3 = 0). Якщо коефіцієнти многочлена (1) – раціональні числа, то еліптична крива може бути перетворена до так званої канонічної форми
у2 = х3 + ах + Ь. (2)
У 1955 року японському математику Ю. Танияме (1927-1958) у межах теорії еліптичних кривих вдалося сформулювати гіпотезу, що відкрила шлях доказу теореми Ферма. Але про це не підозрював тоді ні сам Таніяма, ні його колеги. Майже двадцять років ця гіпотеза не привертала до себе серйозної уваги і стала популярною лише в середині 70-х років. Відповідно до гіпотези Таніями будь-яка еліптична
крива із раціональними коефіцієнтами є модулярною. Однак поки що формулювання гіпотези мало говорить допитливому читачеві. Тому будуть потрібні деякі визначення.
З кожною еліптичною кривою можна зв'язати важливу числову характеристику- Її дискримінант. Для кривої, заданої у канонічній формі (2), дискримінант А визначається формулою
А = -(4а + 27b2).
Нехай Е – деяка еліптична крива, задана рівнянням (2), де а та b – цілі числа.
Для простого числа р розглянемо порівняння
y2 = х3 + ах + b(mod p), (3)
де а і b - залишки від розподілу цілих чисел а і b на р і позначимо через np число рішень цього порівняння. Числа пр дуже корисні при дослідженні питання про розв'язання рівнянь виду (2) у цілих числах: якщо якесь пр дорівнює нулю, то рівняння (2) не має цілих рішень. Однак обчислити числа видається лише в рідкісних випадках. (Водночас відомо, що р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).
Розглянемо прості числа р, які ділять дискримінант А еліптичної кривої (2). Можна довести, що для таких р багаточлен х3+ах+b можна записати одним із двох способів:
х3 + ах + b = (х + а) 2 (х + ß) (mod Р)
х3 + ах + b = (х + у) 3 (mod p),
де а, ß, у - деякі залишки від поділу на р. Якщо для всіх простих р, що ділять дискримінант кривою, реалізується перша з двох зазначених можливостей, то еліптична крива називається напівстабільною.
Прості числа, що ділять дискримінант, можна поєднати у так званий кондуктор еліптичної кривої. Якщо Е - напівстабільна крива, її кондуктор N задається формулою
де для всіх простих чисел p > 5, що ділять А, показник еР дорівнює 1. Показники 82 та 83 обчислюються за допомогою спеціального алгоритму.
Фактично - це все, що потрібно розуміння суті докази. Однак у гіпотезі Таніями є непросте і в нашому випадку ключове поняття модулярності. Тому забудемо на час про еліптичних кривих і розглянемо аналітичну функцію f (тобто ту функцію, яка може бути представлена статечним рядом) комплексного аргументу z, заданого у верхній напівплощині.
Позначимо через Н верхню комплексну напівплощину. Нехай N - натуральне і до - ціле число. Модулярною параболічною формою ваги до рівня N називається аналітична функція f(z), задана у верхній напівплощині і задовольняє співвідношення
f = (cz + d)kf (z) (5)
для будь-яких цілих чисел а, b, с, d таких, що ае - bc = 1 і ділиться на N. Крім того, передбачається, що
lim f(r+it) = 0,
де r - раціональне число, і що
Простір модулярних параболічних форм ваги рівня N позначається через Sk(N). Можна показати, що вона має кінцеву розмірність.
Надалі нас особливо цікавитимуть модулярні параболічні форми ваги 2. Для малих N розмірність простору S2(N) представлена в табл. 1. Зокрема,
Розміри простору S2(N)
Таблиця 1
N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
З умови (5) випливає, що % + 1) = кожної форми f е S2(N). Отже, f є періодичною функцією. Таку функцію можна подати у вигляді
Назвемо модулярну параболічну форму А^) в S2(N) власної, якщо її коефіцієнти - цілі числа, що задовольняють співвідношенням:
а г ■ а = а г+1 ■ р ■ з Г_1 для простого р, що не ділить число N; (8)
(ap) для простого р, що ділить число N;
атп = ат ап, якщо (т, п) = 1.
Сформулюємо тепер визначення, що відіграє ключову роль доказі теореми Ферма. Еліптична крива з раціональними коефіцієнтами та кондуктором N називається модулярною, якщо знайдеться така власна форма
f(z) = ^anq" g S2(N),
що ар = р - пр для багатьох простих чисел р. Тут пр – число рішень порівняння (3).
Важко повірити в існування хоча б однієї такої кривої. Уявити, що знайдеться функція А(г), що задовольняє переліченим жорстким обмеженням (5) і (8), яка б розкладалася в ряд (7), коефіцієнти якої були б пов'язані з практично необчислюваними числами Пр, досить складно. Але смілива гіпотеза Таніями аж ніяк не ставила під сумнів факт їхнього існування, а накопичений часом емпіричний матеріал блискуче підтвердив її справедливість. Після двох десятиліть майже повного забуття гіпотеза Таніями отримала у роботах французького математика, члена Паризької Академії наук Андре Вейля друге дихання.
А. Вейль, що народився в 1906 році, став згодом одним із засновників групи математиків, які виступали під псевдонімом Н. Бурбаки. З 1958 року А. Вейль стає професором Прінстонського інституту перспективних досліджень. І до цього періоду відноситься виникнення його інтересу до абстрактної алгебраїчної геометрії. У сімдесяті роки він звертається до еліптичних функцій та гіпотези Таніями. Монографія, присвячена еліптичних функцій, була перекладена у нас, в Росії. У своєму захопленні він не самотній. У 1985 році німецький математик Герхард Фрей припустив, що якщо теорема Ферма невірна, тобто якщо знайдеться така трійка цілих чисел а, Ь, с, що а + Ьп = = с (п > 3), то еліптична крива
у2 = х (х - а")-(х - сп)
не може бути модулярною, що суперечить гіпотезі Таніями. Самому Фрей не вдалося довести це твердження, проте незабаром доказ було отримано американським математиком Кеннетом Рібетом. Інакше кажучи, Рібет показав, що теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями.
Він сформулював і довів таку теорему:
Теорема 1 (Рібет). Нехай Е - еліптична крива з раціональними коефіцієнтами, що має дискримінант
та кондуктор
Припустимо, що Е є модулярною, і нехай
/(г) = q + 2 аАп е^(N)
є відповідна власна форма рівня N. Фіксуємо просте число £, та
р: еР = 1; - "8 р
Тоді існує така параболічна форма
/(г) = 2 dnqn е N)
з цілими коефіцієнтами, що різниці ап - dn поділяються на I для всіх 1< п<ад.
Ясно, що якщо ця теорема доведена для деякого показника, то тим самим вона доведена і для всіх показників, кратних п. Оскільки всяке ціле число п > 2 ділиться або на 4, або на непарне просте число, то можна обмежитися випадком, коли показник дорівнює або 4, або непарному простому числу. Для п = 4 елементарне підтвердження теореми Ферма було отримано спочатку самим Ферма, та був Ейлером. Таким чином, достатньо вивчити рівняння
а1 + Ь1 = с1, (12)
у якому показник I є непарне просте число.
Тепер теорему Ферма можна здобути простими обчисленнями (2).
Теорема 2. З гіпотези Таніями для напівстабільних еліптичних кривих випливає остання теорема Ферма.
Доведення. Припустимо, що теорема Ферма невірна, і нехай є відповідний контрприклад (як і вище, тут I - непарне просте число). Застосуємо теорему 1 до еліптичної кривої
у2 = х (х - ае) (х - с1).
Нескладні обчислення показують, що кондуктор цієї кривої задається формулою
Порівнюючи формули (11) і (13), бачимо, що N = 2. Отже, за теоремою 1 знайдеться параболічна форма
що лежить у просторі 82(2). Але з співвідношення (6) це простір нульовий. Тому dn = 0 всім п. У той самий час а^ = 1. Отже, різниця аг - dl = 1 не ділиться на I і ми приходимо до суперечності. Отже, теорема доведена.
Ця теорема давала ключ до підтвердження великої теореми Ферма. І все ж таки сама гіпотеза залишалася все ще недоведеною.
Анонсувавши 23 червня 1993 року доказ гіпотези Таніями для напівстабільних еліптичних кривих, до яких належать і криві види (8), Ендрю Вайлз поквапився. Математикам було рано святкувати перемогу.
Швидко закінчилося тепле літо, залишилася позаду дощова осінь, настала зима. Уайлс писав і переписував набіло остаточний варіант свого доказу, але прискіпливі колеги знаходили в його роботі все нові й нові неточності. І ось, на початку грудня 1993 року, за кілька днів до того, як рукопис Уайлса мав піти до друку, у його доказі були знову виявлені серйозні прогалини. І тоді Уайлз зрозумів, що за день-два він уже не зможе нічого виправити. Тут була потрібна серйозна доробка. Публікацію роботи довелося відкласти. Уайлз звернувся по допомогу до Тейлора. «Робота над помилками» зайняла понад рік. Остаточний варіант доказу гіпотези Таніями, написаний Уайлсом у співпраці з Тейлором, побачив світ лише влітку 1995 року.
На відміну від героя А. Марініної Уайлс не претендував на Нобелівську премію, проте... якоюсь нагородою його мали відзначити. Ось тільки який? Уайлсу на той час уже перевалило на п'ятий десяток, а золоті медалі Філдса вручаються до сорока років, поки ще не пройдено пік творчої активності. І тоді для Уайлса вирішили заснувати спеціальну нагороду – срібний знак Філдсівського комітету. Цей знак і вручили йому на черговому конгресі з математики в Берліні.
З усіх проблем, здатних з більшою чи меншою ймовірністю зайняти місце великої теореми Ферма, найбільші шанси має проблема щільної упаковки куль. Проблему щільної упаковки куль можна сформулювати як завдання про те, як економно скласти з апельсинів піраміду. Молодим математикам таке завдання дісталося у спадок від Йоганна Кеплера. Проблема народилася 1611 року, коли Кеплер написав невеликий твір «Про шестикутні сніжинки». Інтерес Кеплера до розташування і самоорганізації частинок речовини і привів його до обговорення іншого питання - про щільну упаковку частинок, при якій вони займають найменший обсяг. Якщо припустити, що частинки мають форму куль, то ясно, що хоч би як вони розташовувалися в просторі, між ними неминуче залишаться зазори, і питання полягає в тому, щоб обсяг зазорів звести до мінімуму. У роботі , наприклад, стверджується (але не доводиться), що такою формою є тетраедр, осі координат всередині якого визначають базисний кут ортогональності в 109о28", а не 90о. Ця проблема має величезне значення для фізики елементарних частинок, кристалографії та інших розділів природознавства .
Література
1. Вейль А. Еліптичні функції за Ейзенштейном та Кронекером. – М., 1978.
2. Соловйов Ю.П. Гіпотеза Таніями та остання теорема Ферма // Соросівський освітній журнал. – № 2. – 1998. – С. 78-95.
3. Сінгх С. Велика теорема Ферма. Історія загадки, яка займала найкращі уми світу протягом 358 років/Пер. з англ. Ю.А. Данилова. М: МЦНМО. 2000. – 260 с.
4. Мирмович Е.Г., Усачова Т.В. Алгебра кватерніонів та тривимірні обертання // Справжній журнал № 1(1), 2008. – С. 75-80.
ІСТОРІЯ БОЛЬШОЇ ТЕОРЕМИ ФЕРМАГрандіозна подія
Якось у новорічному випуску розсилки про те, як вимовляти тости, я побіжно згадав, що наприкінці ХХ століття відбулася одна грандіозна подія, якої багато хто не помітив - була, нарешті, доведена так звана Велика теорема Ферма. З цього приводу серед отриманих листів я виявив два відгуки від дівчат (одна з них, наскільки пам'ятаю – дев'ятикласниця Віка із Зеленограда), яких здивував цей факт.
А мене здивувало те, наскільки жваво дівчатка цікавляться проблемами сучасної математики. Тому, думаю, що не лише дівчаткам, а й хлопчикам різного віку - від старшокласників до пенсіонерів, теж буде цікаво дізнатися історію Великої теореми.
Доказ теореми Ферма – велика подія. А т.к. зі словом "великий" не прийнято жартувати, то знати історію теореми, мені здається, кожен оратор, що поважає себе (а всі ми, коли говоримо - оратори) просто зобов'язаний.
Якщо так вийшло, що ви не любите математику так, як люблю її я, деякі поглиблення в деталі переглядайте побіжним поглядом. Розуміючи, що не всім читачам нашої розсилки цікаво блукати в математичних нетрях, я постарався не наводити жодних формул (крім самого рівняння теореми Ферма та пари гіпотез) та максимально спростити висвітлення деяких специфічних питань.
Як Ферма заварив кашу
Французький юрист і за сумісництвом великий математик XVII століття П'єр Ферма (1601-1665) висунув одне цікаве твердження в галузі теорії чисел, яке згодом отримало назву Великої (або Великої) теореми Ферма. Це одна з найвідоміших і найфеноменальніших математичних теорем. Напевно, ажіотаж навколо неї був би не такий сильний, якби в книзі Діофанта Олександрійського (III століття н. е.) "Арифметика", яку Ферма частенько студіював, роблячи позначки на її широких полях, і яку люб'язно зберіг для нащадків його син Семюел , не було виявлено приблизно наступний запис великого математика:
"Я маю досить вражаючий доказ, але воно занадто велике, щоб його можна було розмістити на полях".
Вона, цей запис, і стала причиною наступної грандіозної метушні навколо теореми.
Отже, знаменитий учений заявив, що довів свою теорему. Давайте ж запитаємо себе: чи справді він її довів чи банально збрехав? Чи є інші версії, що пояснюють появу того запису на полях, який не давав спокійно спати багатьом математикам наступних поколінь?
Історія Великої теореми цікава, як пригода в часі. У 1636 році Ферма заявив, що рівняння виду x n + y n = z nнемає рішень у цілих числах за показника ступеня n>2. Це, власне, і є Велика теорема Ферма. У цій, здавалося б, простий на вигляд математичній формулі Всесвіт замаскував неймовірну складність. Американський математик шотландського походження Ерік Темпл Белл у своїй книзі "Остання проблема" (1961) навіть припустив, що можливо людство припинить своє існування раніше, ніж зможе довести Велику теорему Ферма.
Дещо дивним є те, що чомусь теорема запізнилася з появою на світ, оскільки ситуація назріла давно, адже її окремий випадок при n=2 – інша знаменита математична формула – теорема Піфагора, виникла на двадцять два століття раніше. На відміну від теореми Ферма, теорема Піфагора має безліч цілочисленних рішень, наприклад, такі піфагорові трикутники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Синдром Великої теореми
Хтось тільки не намагався довести теорему Ферма. Будь-який студент, що оперився, вважав своїм обов'язком прикластися до Великої теореми, але довести її все ніяк нікому не вдавалося. Спершу не вдавалося сто років. Потім ще сто. І ще. Серед математиків почав розвиватися масовий синдром: "Як же так? Ферма довів, а я що, не зможу, чи що?" - і деякі з них на цьому ґрунті зникли в повному розумінні цього слова.
Скільки б теорему не перевіряли - вона завжди виявлялася вірною. Я знав одного енергійного програміста, який був одержимий ідеєю спростувати Велику теорему, намагаючись знайти хоча б одне її рішення (контрприклад) методом перебору цілих чисел з використанням швидкодіючого комп'ютера (який тоді іменувався ЕОМ). Він вірив у успіх свого підприємства і любив примовляти: "Ще трохи - і вибухне сенсація!". Думаю, що в різних місцях нашої планети було чимало такого сорту сміливих шукачів. Жодного рішення він, звичайно, не знайшов. І жодні комп'ютери, хоч навіть із казковою швидкодією, ніколи не змогли б перевірити теорему, адже всі змінні цього рівняння (у тому числі й показники ступеня) можуть зростати нескінченно.
Теорема потребує доказів
Математики знають, що якщо теорема не доведена, з неї може випливати все, що завгодно (як істина, так і брехня), як це було з деякими іншими гіпотезами. Наприклад, в одному зі своїх листів П'єр Ферма висловив припущення, що числа виду 2 n +1 (т.зв. числа Ферма) обов'язково прості (тобто не мають цілих чисельників і діляться без залишку тільки на себе і на одиницю), якщо n – ступінь двійки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 і т.д.). Ця гіпотеза Ферма прожила понад сто років - доти, поки в 1732 Леонард Ейлер не показав, що
2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 · 641
Потім ще майже через 150 років (1880) Фортюне Ландрі розклав на множники наступне число Ферма:
2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 · 67 280 421 310 721
Як без допомоги комп'ютерів змогли знайти дільники цих великих чисел - одному богу відомо. Своєю чергою Ейлер висунув гіпотезу, що рівняння x 4 +y 4 +z 4 =u 4 немає рішень у цілих числах. Однак приблизно через 250 років, у 1988 році Науму Елькісу з Гарварду вдалося виявити (вже за допомогою комп'ютерної програми), що
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4
Тому Велика теорема Ферма вимагала докази, інакше вона була просто гіпотезою, і цілком могло бути, що десь там у безкраїх числових полях загублено рішення рівняння Великої теореми.
Найвіртуозніший і найплідніший математик XVIII століття Леонард Ейлер, архів записів якого людство розгрібало майже ціле століття, довів теорему Ферма для ступенів 3 і 4 (вірніше, він повторив загублені докази самого П'єра Ферма); його послідовник у теорії чисел, Лежандр (а також незалежно від нього Діріхле) – для ступеня 5; Лами - для ступеня 7. Але у загальному вигляді теорема залишалася недоведеною.
1 березня 1847 року на засіданні Паризької академії наук відразу два видатних математика - Габріель Ламе та Огюстен Коші - заявили, що підійшли до завершення доказу Великої теореми і влаштували гонку, публікуючи свої докази частинами. Однак поєдинок між ними був перерваний, тому що в їхніх доказах була виявлена та сама помилка, на яку вказав німецький математик Ернст Куммер.
На початку XX століття (1908) заможний німецький підприємець, меценат та вчений Пауль Вольфскель заповів сто тисяч марок тому, хто пред'явить повний доказ теореми Ферма. Вже в перший рік після опублікування заповіту Вольфскеля Геттінгентської академії наук, вона була завалена тисячами доказів від любителів математики, і цей потік не припинявся протягом десятиліть, але всі вони, як ви здогадуєтеся, містили в собі помилки. Кажуть, що в академії було заготовлено бланки приблизно такого змісту:
Шановний __________________________!
У Вашому доказі теореми Ферма на сторінці ____ у ____ рядку зверху
у формулі:__________________________ виявлено таку помилку:,
Які розсилалися невдалим претендентам премії.
На той час у колі математиків з'явилося напівзневажливе прізвисько. ферміст. Так називали всякого самовпевненого вискочку, якому не вистачало знань, зате з лишком вистачало амбіцій для того, щоб поспіхом спробувати сила-силенна в доказі Великої теореми, а потім, не помітивши власних помилок, гордо ляснувши себе в груди, голосно заявити: "Я перший довів". теорему Ферма!". Кожен ферміст, якби він був хоч навіть десятитисячним за рахунком, вважав себе першим - це було смішним. Простий зовнішній вигляд Великої теореми так сильно нагадував фермістам легкий видобуток, що їх абсолютно не бентежило, що навіть Ейлер з Гаусом не змогли впоратися з нею.
(Фермісти, як не дивно, існують і нині. Один із них хоч і не вважав, що довів теорему, як класичний ферміст, але донедавна робив спроби - відмовився вірити мені, коли я повідомив йому, що теорема Ферма вже доведена).
Найсильніші математики, можливо, в тиші своїх кабінетів теж пробували обережно підходити до цієї непідйомної штанги, але не говорили про це вголос, щоб не вважатися фермістами і, таким чином, не нашкодити своєму високому авторитету.
На той час з'явився доказ теореми для показника ступеня n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.
Дивна гіпотеза
До середини ХХ століття жодних серйозних поступів історія Великої теореми немає. Але незабаром у математичному житті відбулася одна цікава подія. У 1955 році 28-річний японський математик Ютака Таніяма висунув твердження з зовсім іншої галузі математики, яке отримало назву "гіпотези Таніями" (вона ж "гіпотеза Таніями-Шімури-Вейла"), яке, на відміну від запізнілої теореми Ферма, випередило свій час.
Гіпотеза Таніями говорить: "кожній еліптичній кривій відповідає певна модульна форма". Дане твердження для математиків того часу звучало приблизно так само абсурдно, як для нас звучить твердження: "кожному дереву відповідає певний метал". Неважко вгадати, як може поставитися до подібного твердження нормальна людина - вона просто не сприйме її всерйоз, що й сталося: математики дружно проігнорували гіпотезу.
Невелике пояснення. Еліптичні криві, відомі з давніх-давен, мають двомірний вигляд (розташовуються на площині). Модулярні ж функції, відкриті в XIX столітті, мають чотиривимірний вигляд, тому ми їх навіть уявити не можемо своїми тривимірними мізками, але можемо описати математично; крім того, модулярні форми дивовижні тим, що мають гранично можливу симетрію - їх можна транслювати (зрушувати) у будь-якому напрямку, відбивати дзеркально, змінювати місцями фрагменти, повертати нескінченно багатьма способами - і при цьому їх вигляд не змінюється. Як бачимо, еліптичні криві та модулярні форми мають мало спільного. Гіпотеза ж Таніями стверджує, що описові рівняння двох відповідних один одному цих абсолютно різних математичних об'єктів можна розкласти в той самий математичний ряд.
Гіпотеза Таніями була надто парадоксальна: вона поєднала зовсім різні поняття - досить прості плоскі криві та неймовірні чотиривимірні форми. Таке нікому не спадало на думку. Коли на міжнародному математичному симпозіумі Токіо у вересні 1955 року Таніяма продемонстрував кілька відповідностей еліптичних кривих модулярним формам, всі побачили у тому трохи більше, ніж забавні збіги. На скромне питання Таніями: чи можливо для кожної еліптичної кривої знайти відповідну модулярну функцію, маститий француз Андре Вейл, який на той час був одним із найкращих у світі фахівців у теорії чисел, дав цілком дипломатичну відповідь, що, мовляв, якщо допитливого Таніяму не залишить ентузіазм, то, можливо, йому пощастить, і його неймовірна гіпотеза підтвердиться, але це, мабуть, станеться не скоро. Загалом, як і багато інших видатних відкриттів, спочатку гіпотеза Таніями залишилася поза увагою, тому що до неї ще не дорослі - її майже ніхто не зрозумів. Один лише колега Таніями, Горо Шимура, добре знаючи свого високообдарованого друга, інтуїтивно відчував, що його гіпотеза вірна.
Через три роки (1958) Ютака Таніяма наклав на себе руки (сильні, проте, в Японії самурайські традиції). З погляду здорового глузду - ніяк не зрозумілий вчинок, особливо, якщо врахувати, що зовсім скоро він збирався одружитися. Свою передсмертну записку лідер молодих японських математиків почав так: "Ще вчора я не думав про самогубство. Останнім часом мені часто доводилося чути від інших, що я втомився розумово та фізично. Взагалі-то я і зараз не розумію, навіщо це роблю…" так далі на трьох аркушах. Шкода, звичайно, що так склалася доля цікавої людини, але всі генії трохи дивні - на те вони і генії (на думку чомусь прийшли слова Артура Шопенгауера: "у звичайному житті від генія стільки ж користі, як від телескопа в театрі") . Гіпотеза осиротіла. Ніхто не знав, як її довести.
Років десять про гіпотезу Таніями майже не згадували. Але на початку 70-х років вона стала популярною – її регулярно перевіряли всі, хто зміг у ній розібратися – і вона завжди підтверджувалася (як, власне, і теорема Ферма), але, як і раніше, ніхто не міг її довести.
Дивовижний зв'язок двох гіпотез
Минуло ще приблизно 15 років. В 1984 відбулася одна ключова подія в житті математики, яка об'єднала екстравагантну японську гіпотезу з Великою теоремою Ферма. Німець Герхард Фрей висунув цікаве твердження, схоже на теорему: "Якщо буде доведено гіпотезу Таніями, то, отже, буде доведено і Велику теорему Ферма". Інакше кажучи, теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями. (Фрей методом хитромудрих математичних перетворень звів рівняння Ферма до виду рівняння еліптичної кривої (та сама, яка фігурує і в гіпотезі Таніями), більш-менш обґрунтував своє припущення, але довести його не зміг). І ось буквально за півтора року (1986) професор каліфорнійського університету Кеннет Рібет чітко довів теорему Фрея.
Що ж тепер вийшло? Тепер виявилося, що, оскільки теорема Ферма вже точно є наслідком гіпотези Таніями, потрібно лише довести останню, щоб зірвати лаври підкорювача легендарної теореми Ферма. Але гіпотеза виявилася непростою. До того ж у математиків за століття з'явилася алергія на теорему Ферма, і багато хто з них вирішив, що впоратися з гіпотезою Таніями також практично неможливо.
Смерть гіпотези Ферма. Народження теореми
Минуло ще вісім років. Одному прогресивному англійському професору математики з університету Прінстона (Нью-Джерсі, США), Ендрю Уайлсу, здалося, що він знайшов доказ гіпотези Таніями. Якщо геній не лисий, то, як правило, скуйовджений. Вайлз - скуйовджений, отже, схожий на генія. Увійти в Історію, звичайно, привабливо і дуже хотілося, але Вайлз, як справжній вчений, не спокушався, розуміючи, що тисячам фермістів до нього теж здавались примарні докази. Тому, перш ніж уявити свій доказ світу, він ретельно перевіряв його сам, але усвідомлюючи, що може мати суб'єктивну упередженість, залучав до перевірок також інших, наприклад, під виглядом звичайних математичних завдань він іноді підкидав тямущим аспірантам різні фрагменти свого доказу. Пізніше Уайлз зізнався, що ніхто, крім його дружини, не знав, що він працює над доказом Великої теореми.
І ось після довгих перевірок і тяжких роздумів, Вайлз набрався хоробрості, а може, як йому самому здавалося, нахабства і 23 червня 1993 на математичній конференції з теорії чисел у Кембриджі оголосив про своє велике досягнення.
Це, звісно, була сенсація. Ніхто не очікував такої спритності від маловідомого математика. Одразу ж з'явилася преса. Усіх мучив палкий інтерес. Стрункі формули, як штрихи прекрасної картини, постали перед цікавими поглядами присутніх. Справжні математики, адже вони такі - дивляться на всякі рівняння і бачать у них не цифри, константи і змінні, а чують музику, подібно до Моцарта, що дивиться на нотний стан. Точно так, як ми, читаючи книгу, дивимося на літери, але начебто як їх і не помічаємо, а відразу сприймаємо зміст тексту.
Презентація доказу, здавалося, пройшла успішно – помилок у ньому не знайшли – ніхто не почув жодної фальшивої ноти (хоча більшість математиків просто вп'ялася на нього, як першокласники на інтеграл і нічого не зрозуміли). Усі вирішили, що сталася масштабна подія: доведена гіпотеза Таніями, а отже і Велика теорема Ферма. Але приблизно через два місяці, за кілька днів до того, як рукопис доказу Уайлса мав піти в тираж, у ньому було виявлено невідповідність (Кац, колега Уайлса, зауважив, що один фрагмент міркувань спирався на "систему Ейлера", але те, що спорудив Уайлс, такою системою не було), хоча загалом прийоми Уайлса були визнані цікавими, витонченими та новаторськими.
Вайлз проаналізував ситуацію і вирішив, що програв. Можна собі уявити, як він усією своєю істотою відчув, що означає "від великого до смішного один крок". "Хотів увійти в Історію, а натомість увійшов до складу команди клоунів і комедіантів - самовпевнених фермістів" - приблизно такі думки виснажували його в той тяжкий період життя. Для нього, серйозного вченого-математика, це була трагедія, і він закинув свій доказ у довгий ящик.
Але через рік з невеликим, у вересні 1994 року, під час роздумів над тим вузьким місцем доказу разом зі своїм колегою Тейлором з Оксфорда, останнього несподівано осяяла думка, що "систему Ейлера" можна поміняти на теорію Івасава (розділ теорії чисел). Тоді вони спробували скористатися теорією Івасава, обійшовшись без "системи Ейлера", і все зійшлося. Виправлений варіант доказу було передано на перевірку і через рік було оголошено, що в ньому все абсолютно чітко, без жодної помилки. Влітку 1995 року в одному з перших математичних журналів - "Аннали математики" - було опубліковано повний доказ гіпотези Таніями (отже, Великої (Великої) теореми Ферма), яке зайняло весь номер - понад сто аркушів. Доказ такий складний, що зрозуміти його цілком могли лише кілька десятків людей у всьому світі.
Таким чином, наприкінці ХХ століття весь світ визнав, що на 360 році свого життя Велика теорема Ферма, яка насправді весь цей час була гіпотезою, стала доведеною теоремою. Ендрю Уайлс довів Велику (Велику) теорему Ферма і увійшов до Історії.
Подумаєш, довели якусь теорему...
Щастя першовідкривача завжди дістається комусь одному - саме він останнім ударом молота розколює твердий горішок знання. Але не можна ігнорувати безліч попередніх ударів, які не одне століття формували тріщину у Великій теоремі: Ейлера і Гауса (королів математики своїх часів), Евариста Галуа (що встиг за своє коротке 21-річне життя заснувати теорії груп та полів, роботи якого були визнані геніальними лише після його смерті), Анрі Пуанкаре (засновника не тільки химерних модулярних форм, а й конвенціоналізму - філософської течії), Давида Гілберта (одного з найсильніших математиків ХХ століття), Ютаку Таніяму, Горо Шімуру, Морделла, Фальтінгса, Ернста Куммера, Герхарда Фрея, Кена Ріббета, Річарда Тейлора та інших справжніх вчених(Не побоюсь цих слів).
Доказ Великої теореми Ферма можна поставити в один ряд із такими здобутками ХХ століття, як винахід комп'ютера, ядерної бомби та політ у космос. Хоч про нього і не так широко відомо, тому що воно не вторгається в зону наших нагальних інтересів, як наприклад, телевізор або електрична лампочка, але воно стало спалахом наднової зірки, яка, як і всі незмінні істини, завжди світитиме людству.
Ви можете сказати: "подумаєш, довели якусь теорему, кому це треба?". Справедливе питання. Тут точно погодиться відповідь Давида Гілберта. Коли на питання: "яке завдання зараз для науки найважливіше?", він відповів: "зловити муху на зворотному боці Місяця", його резонно запитали: "а кому це треба?", він відповів так: "Це нікому не треба. Але подумайте над тим, скільки важливих найскладніших завдань треба вирішити, щоб це здійснити". Подумайте, скільки завдань за 360 років змогло вирішити людство, перш ніж довести теорему Ферма. У пошуках її доказу було відкрито майже половину сучасної математики. врахувати, що математика - авангард науки (і, до речі, єдина з наук, яка будується без жодної помилки), і будь-які наукові досягнення та винаходи починаються саме тут. ".
* * *
А тепер давайте повернемося на початок нашої історії, згадаємо запис П'єра Ферма на полях підручника Діофанта і ще раз запитаємо себе: чи справді Ферма довів свою теорему? Цього ми, звичайно, не можемо знати напевно, і як у будь-якій справі тут виникають різні версії:
Версія 1:Ферма довів свою теорему. (На запитання: "Чи мав Ферма такий самий доказ своєї теореми?", Ендрю Уайлс зауважив: "Ферма не міг мати в своєму розпорядженні такимдоказом. Це доказ ХХ століття". Ми з вами розуміємо, що в XVII столітті математика, звичайно ж, була не та, що в кінці ХХ століття - в ту епоху д, Артаньяна, цариця наук ще не володіла тими відкриттями (модулярні форми, теореми Таніями , Фрея та ін.), які тільки й дозволили довести Велику теорему Ферма (звісно, можна припустити: чим чорт не жартує - а раптом Ферма здогадався іншим шляхом? Ця версія хоч і ймовірна, але за оцінками більшості математиків, практично неможлива);
Версія 2:П'єру Ферма здалося, що він довів свою теорему, але в його доказі були помилки. (Тобто сам Ферма був також і першим фермістом);
Версія 3:Ферма свою теорему не довів, а на полях просто збрехав.
Якщо вірна одна з двох останніх версій, що найімовірніше, тоді можна зробити простий висновок: великі люди, вони хоч і великі, але теж можуть помилятися або іноді не проти прибрехати(переважно цей висновок буде корисним для тих, хто схильний нероздільно довіряти своїм кумирам та іншим володарям дум). Тому, читаючи твори авторитетних синів людства або слухаючи їх пафосні виступи, ви маєте повне право сумніватися у їхніх твердженнях. (Прошу зауважити, що сумніватися - не означає відкидати).
Перевидання матеріалів статті можливе лише з обов'язковими посиланнями на сайт (в інтернеті - гіперпосилання) та на автора
ФЕРМА ВЕЛИКА ТЕОРЕМА - затвердження П'єра Ферма (французький юрист і за сумісництвом математик) про те, що діофантове рівняння X n + Y n = Z n , за показником ступеня n>2, де n = ціле число, не має рішень у цілих позитивних числах . Авторський текст: "Неможливо розкласти куб на два куби, або біквадрат на два біквадрати, або взагалі ступінь, більший за два, на два ступеня з тим же самим показником."
"Ферма та його теорема", Амадео Модільяні, 1920
П'єр вигадав цю теорему 29 березня 1636 року. А ще за якихось 29 років помер. Але тут все й почалося. Адже заможний німецький аматор математики на прізвище Вольфскель заповів сто тисяч марок тому, хто надасть повний доказ теореми Ферма! Але ажіотаж навколо теореми був пов'язаний не лише з цим, а й із професійним математичним азартом. Сам Ферма натякнув математичному співтовариству, що знає доказ - незадовго до смерті, в 1665-му році він залишив на полях книги Діофанта Олександрійського "Арифметика" наступний запис: "Я маю дуже вражаючий доказ, але воно занадто велике, щоб його можна було розмістити на полях."
Саме цей натяк (плюс, звичайно, грошова премія) змусив математиків безуспішно витрачати на пошуки докази свої. найкращі роки(за підрахунками американських вчених, лише професійними математиками було витрачено цього 543 років у цілому).
У якийсь момент (1901-го) робота над теоремою Ферма набула сумнівної слави "роботи, схожої на пошук вічного двигуна" (з'явився навіть принизливий термін - "ферматисти"). І раптом 23 червня 1993 року на математичній конференції з теорії чисел у Кембриджі англійський професор математики з Прінстонського університету (Нью-Джерсі, США) Ендрю Вайлз оголосив, що нарешті довів Ферма!
Доказ, щоправда, був як складним, а й очевидно помилковим, потім Уайлсу було вказано його колегами. Але професор Вайлз все життя мріяв довести теорему, тому не дивно, що в травні 1994-го він представив на суд вченої спільноти новий доопрацьований варіант доказу. У ньому не було стрункості, краси, і воно, як і раніше, було дуже складним - той факт, що математики цілий рік (!) цей доказ аналізували, щоб зрозуміти, чи не є воно помилковим, говорить сам за себе!
Однак у результаті підтвердження Уайлса було визнано вірним. А ось П'єру Ферма його цей натяк в "Арифметиці" математики не пробачили, і, фактично, стали вважати його брехуном. Власне, першим, хто ризикнув засумніватися в моральній охайності Ферма був сам Ендрю Уайлс, який зауважив, що "Ферма не міг мати такого доказу. Це доказ ХХ століття". Потім і серед інших учених зміцнилася думка, що Ферма "не міг довести свою теорему іншим шляхом, а довести її тим шляхом, яким пішов Уайлс, Ферма не міг з об'єктивних причин."
Насправді, Ферма, звичайно ж, міг довести її, і трохи пізніше цей доказ буде аналітиками "Нової Аналітичної Енциклопедії" відтворено. Але - що це за такі "об'єктивні причини"?
Така причина насправді лише одна: у ті роки, коли жив Ферма, не могла з'явитися гіпотеза Таніями, на якій і побудував свій доказ Ендрю Уайлс, адже модулярні функції, якими оперує гіпотеза Таніями, були відкриті лише наприкінці XIX століття.
Як довів теорему сам Вайлз? Питання непусте - це важливо для розуміння того, яким чином свою теорему міг довести сам Ферма. Уайлс побудував свій доказ на доказі гіпотези Таніями, висунутої 1955-го 28-річним японським математиком Ютакой Таніямою.
Гіпотеза звучить так: "кожній еліптичній кривій відповідає певна модулярна форма". Еліптичні криві, відомі з давніх-давен, мають двовимірний вигляд (розташовуються на площині), модулярні ж функції, мають чотиривимірний вигляд. Тобто гіпотеза Таніями поєднала зовсім різні поняття - прості плоскі криві та неймовірні чотиривимірні форми. Сам факт поєднання різномірних фігур у гіпотезі здався вченим абсурдним, саме тому 1955-го їй не надали значення.
Однак восени 1984 року про "гіпотезу Таніями" раптом знову згадали, і не просто згадали, але пов'язали її можливий доказ із доказом теореми Ферма! Це зробив математик із Саарбрюкена Герхард Фрей, який повідомив вченому співтовариству, що "якби комусь вдалося довести гіпотезу Таніями, то тим самим було б доведено і Велику теорему Ферма".
Що зробив Фрей? Він перетворив рівняння Ферма на кубічне, потім звернув увагу, що еліптична крива, отримана з допомогою перетвореного на кубічне рівняння Ферма може бути модулярной. Однак гіпотеза Таніями стверджувала, що будь-яка еліптична крива може бути модульною! Відповідно, еліптична крива, побудована з рівняння Ферма неспроможна існувати, отже може бути цілих рішень і теореми Ферма, отже вона вірна. Ну а 1993-го Ендрю Уайлс просто довів гіпотезу Таніями, а значить і теорему Ферма.
Однак, теорему Ферма можна довести значно простіше, на основі тієї ж багатовимірності, якою оперували і Таніяма, і Фрей.
Для початку звернемо увагу на умову, обумовлену самим П'єром Ферма - n>2. Для чого була потрібна ця умова? Та лише у тому, що з n=2 окремим випадком теореми Ферма стає традиційна теорема Піфагора Х 2 +Y 2 =Z 2 , яке має безліч цілих рішень - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 і таке інше. Отже, теорема Піфагора є винятком з теореми Ферма.
Але чому саме у випадку з n=2 виникає такий виняток? Все стає на свої місця, якщо побачити взаємозв'язок між ступенем (n=2) та мірністю самої фігури. Піфагорів трикутник - двомірна фігура. Не дивно, що Z (тобто гіпотенуза) може бути виражена через катети (X і Y), які можуть бути цілими числами. Розмір кута (90) дає можливість розглядати гіпотенузу як вектор, а катети - вектори, розташовані на осях і які йдуть із початку координат. Відповідно, можна виразити двовимірний вектор, що не лежить на жодній з осей, через вектори, що на них лежать.
Тепер, якщо перейти до третього вимірювання, а значить до n=3, для того щоб висловити тривимірний вектор, буде недостатньо інформації про два вектори, а отже, виразити Z у рівнянні Ферма можна буде як мінімум через три доданки (три вектори, що лежать, відповідно, на трьох осях системи координат).
Якщо n=4, отже, доданків має бути вже 4, якщо n=5, то доданків має бути 5 і так далі. У цьому випадку цілих рішень буде хоч греблю гати. Наприклад, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 і так далі (інші приклади для n = 3, n = 4 і так далі можете підібрати самостійно).
Що з цього слід? З цього випливає, що теорема Ферма справді не має цілих рішень при n>2 - але лише тому, що саме собою рівняння некоректне! З таким самим успіхом можна було б намагатися висловити обсяг паралелепіпеда через довжини двох його ребер - зрозуміло, це неможливо (цілих рішень ніколи не буде знайдено), але тільки тому, що для знаходження обсягу паралелепіпеда потрібно знати довжини всіх трьох його ребер.
Коли знаменитого математика Давида Гілберта запитали, яке завдання зараз для науки найважливіше, він відповів "зловити муху на звороті Місяця". На резонне запитання "А кому це треба?" він відповів так: "Це нікому не треба. Але подумайте над тим, скільки важливих найскладніших завдань треба вирішити, щоб це здійснити".
Іншими словами, Ферма (юрист насамперед!) зіграв з усім математичним світом дотепний юридичний жарт, заснований на неправильній постановці завдання. Він, власне, запропонував математикам знайти відповідь, чому муха з іншого боку Місяця жити неспроможна, але в полях " Арифметики " хотів написати лише у тому, що у Місяці просто немає повітря, тобто. Цілих рішень його теореми при n>2 бути не може лише тому, що кожному значенню n має відповідати певну кількість членів у лівій частині його рівняння.
Але чи це був просто жарт? Не. Геніальність Ферма полягає саме в тому, що він фактично перший побачив взаємозв'язок між ступенем і мірністю математичної фігури - тобто, що абсолютно еквівалентно, кількістю членів у лівій частині рівняння. Сенс його знаменитої теореми був саме в тому, щоб не просто наштовхнути математичний світ на ідею цього взаємозв'язку, а й ініціювати доказ існування цього взаємозв'язку – інтуїтивно зрозумілого, але математично поки що не обґрунтованого.
Ферма як ніхто інший розумів, що встановлення взаємозв'язку між, начебто, різними об'єктами надзвичайно плідно у математиці, а й у будь-якій науці. Такий взаємозв'язок вказує на якийсь глибокий принцип, що лежить в основі обох об'єктів і дозволяє глибше зрозуміти їх.
Наприклад, спочатку фізики розглядали електрику та магнетизм як зовсім не пов'язані між собою явища, а в XIX столітті теоретики та експериментатори зрозуміли, що електрика та магнетизм тісно пов'язані між собою. В результаті було досягнуто глибшого розуміння і електрики, і магнетизму. Електричні струмипороджують магнітні поля, А магніти можуть індукувати електрику у провідниках, що знаходяться поблизу магнітів. Це призвело до винаходу динамомашин та електромоторів. Зрештою було відкрито, що світло є результатом узгоджених гармонійних коливань магнітного та електричного полів.
Математика часів Ферма складалася з островів знання у морі незнання. На одному острові жили геометри, що займаються вивченням форм, на іншому острові теорії ймовірностей математики вивчали ризики та випадковість. Мова геометрії сильно відрізнялася від мови теорії ймовірностей, а алгебраїчна термінологія була чужа тим, хто говорив лише про статистику. На жаль, математика та наших часів складається приблизно з таких самих островів.
Ферма першим зрозумів, що ці острови взаємопов'язані. І його знаменита теорема - ВЕЛИКА ТЕОРЕМА ФЕРМА - відмінне тому підтвердження.