Pitagoro kelnės yra vienodos iš visų pusių. Projektas tema: Pitagoro kelnės vienodos visomis kryptimis

Pitagoro teorema visiems žinoma nuo mokyklos laikų. Puikus matematikas įrodė puikų spėjimą, kurį šiuo metu naudoja daugelis žmonių. Taisyklė skamba taip: stačiojo trikampio hipotenuzės ilgio kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai. Jau daugelį dešimtmečių ne vienas matematikas nesugebėjo ginčytis dėl šios taisyklės. Juk Pitagoras ilgai ėjo savo tikslo link, kad dėl to piešiniai vyko kasdieniame gyvenime.

Nedidelė šios teoremos eilutė, kuri buvo sugalvota netrukus po įrodymo, tiesiogiai įrodo hipotezės savybes: „Pitagoro kelnės yra lygios visomis kryptimis“. Ši dviejų eilučių įstojo į daugelio žmonių atmintį – iki šių dienų eilėraštis prisimenamas skaičiuojant.
Ši teorema buvo pavadinta „Pitagoro kelnėmis“ dėl to, kad piešiant per vidurį buvo gautas stačiakampis trikampis, kurio šonuose buvo kvadratai. Išvaizda šis piešinys priminė kelnes – iš čia ir kilo hipotezės pavadinimas.
Pitagoras didžiavosi sukurta teorema, nes ši hipotezė nuo panašių skiriasi maksimaliu įrodymų kiekiu. Svarbu: lygtis buvo įtraukta į Gineso rekordų knygą dėl 370 teisingų įrodymų.
Hipotezę įrodė daugybė matematikų ir profesorių iš skirtingos salysįvairiais būdais. Anglų matematikas Jonesas, netrukus po hipotezės paskelbimo, ją įrodė diferencialinės lygties pagalba.
Šiuo metu niekas nežino paties Pitagoro teoremos įrodymo. Faktai apie matematiko įrodymus šiandien nėra žinomi niekam. Manoma, kad Euklido piešinių įrodymas yra Pitagoro įrodymas. Tačiau kai kurie mokslininkai ginčijasi su šiuo teiginiu: daugelis mano, kad Euklidas savarankiškai įrodė teoremą, be hipotezės kūrėjo pagalbos.
Dabartiniai mokslininkai išsiaiškino, kad didysis matematikas nebuvo pirmasis, atradęs šią hipotezę.. Lygtis buvo žinoma dar ilgai prieš Pitagoro atradimą. Šiam matematikui pavyko tik iš naujo sujungti hipotezę.
Pitagoras nedavė lygties pavadinimo „Pitagoro teorema“. Šis pavadinimas buvo užfiksuotas po „garsiai dvieiliui“. Matematikas tik norėjo, kad visas pasaulis pripažintų ir panaudotų jo pastangas bei atradimus.
Moritzas Kantoras - didžiausias matematikas, rado ir pamatė užrašus su piešiniais ant senovinio papiruso. Netrukus po to Kantoras suprato, kad ši teorema egiptiečiams buvo žinoma jau 2300 m. pr. Kr. Tik tada niekas tuo nepasinaudojo ir nebandė to įrodyti.
Dabartiniai mokslininkai mano, kad hipotezė buvo žinoma jau VIII amžiuje prieš Kristų. To meto Indijos mokslininkai atrado apytikslį trikampio su stačiais kampais hipotenuzės apskaičiavimą. Tiesa, tuo metu niekas negalėjo tiksliai įrodyti lygties apytiksliais skaičiavimais.
Didysis matematikas Bartelas van der Waerdenas, įrodęs hipotezę, padarė svarbią išvadą: „Graikų matematiko nuopelnu laikomas ne krypties ir geometrijos atradimas, o tik jos pateisinimas. Pitagoro rankose buvo skaičiavimo formulės, kurios buvo pagrįstos prielaidomis, netiksliais skaičiavimais ir neaiškiomis idėjomis. Tačiau išskirtiniam mokslininkui pavyko tai paversti tiksliuoju mokslu.
Žinomas poetas pasakojo, kad tą dieną, kai atrado savo piešinį, jis jaučiams pastatė šlovingą auką.. Būtent po hipotezės atradimo pasklido gandai, kad šimto jaučių auka „klaidžiojo knygų ir leidinių puslapiuose“. Protas iki šiol juokauja, kad nuo tada visi jaučiai bijo naujo atradimo.
Įrodymas, kad Pitagoras nesugalvojo eilėraščio apie kelnes, kad įrodytų jo pateiktus piešinius: per didžiojo matematiko gyvenimą kelnių dar nebuvo. Jie buvo išrasti po kelių dešimtmečių.
Pekka, Leibnicas ir keli kiti mokslininkai bandė įrodyti anksčiau žinomą teoremą, tačiau niekam nepavyko.
Piešinių pavadinimas „Pitagoro teorema“ reiškia „įtikinėjimas kalba“. Tai yra žodžio Pitagoras vertimas, kurį matematikas paėmė kaip pseudonimą.
Pitagoro apmąstymai apie jo paties valdymą: to, kas egzistuoja žemėje, paslaptis slypi skaičiuose. Mat matematikas, remdamasis savo hipoteze, tyrinėjo skaičių savybes, atskleidė lygumą ir nelygumą, kūrė proporcijas.

Tikimės, kad jums patiko nuotraukų pasirinkimas - Įdomūs faktai apie Pitagoro teoremą: išmokite naujų dalykų apie garsioji teorema(15 nuotraukų) internete gera kokybė. Prašome palikti savo nuomonę komentaruose! Kiekviena nuomonė mums svarbi.

Pitagoro kelnės Komiškas Pitagoro teoremos pavadinimas, kilęs dėl to, kad stačiakampio šonuose pastatyti ir skirtingomis kryptimis besiskiriantys kvadratai primena kelnių kirpimą. Man patiko geometrija... o per stojamąjį egzaminą į universitetą net sulaukiau pagyrimų iš matematikos profesoriaus Chumakovo už tai, kad paaiškino lygiagrečios linijos ir Pitagoro kelnes(N. Pirogovas. Seno gydytojo dienoraštis).

Rusų literatūrinės kalbos frazeologinis žodynas. - M.: Astrel, AST. A. I. Fiodorovas. 2008 m.

Pažiūrėkite, kas yra „Pitagoro kelnės“ kituose žodynuose:

Kelnės – gaukite veikiantį SuperStep nuolaidų kuponą Akademikoje arba įsigykite pigias kelnes su nemokamu pristatymu išparduodant SuperStep

Pitagoro kelnės- ... Vikipedija

Pitagoro kelnės- Žargas. mokykla Shuttle. Pitagoro teorema, kuri nustato ryšį tarp kvadratų, pastatytų ant hipotenuzos, plotų ir stačiojo trikampio kojų. BTS, 835... Didysis žodynas Rusų posakiai

Pitagoro kelnės- Žaismingas Pitagoro teoremos pavadinimas, nustatantis santykį tarp kvadratų, pastatytų ant hipotenuzės, plotų ir stačiakampio trikampio, kuris brėžiniuose atrodo kaip kelnių pjūvis ... Daugelio posakių žodynas

Pitagoro kelnės (išradimas)- užsienietis: apie gabų žmogų Plg. Tai yra išminčiaus tikrumas. Senovėje jis tikriausiai būtų išradęs Pitagoro kelnes ... Saltykov. Margos raidės. Pitagoro kelnės (geom.): stačiakampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratams (mokymas ... ... Michelsono Didysis aiškinamasis frazeologijos žodynas

Pitagoro kelnės yra vienodos iš visų pusių– Mygtukų skaičius žinomas. Kodėl penis ankšta? (maždaug) apie kelnes ir vyrišką lytinį organą. Pitagoro kelnės yra vienodos iš visų pusių. Norint tai įrodyti, reikia pašalinti ir parodyti 1) apie Pitagoro teoremą; 2) apie plačias kelnes... Gyva kalba. Šnekamosios kalbos posakių žodynas

Pitagoro kelnės išrasti- Pitagoro kelnės (išradimas) užsienietis. apie gabų žmogų. trečia Tai neabejotinas išminčius. Senovėje jis tikriausiai būtų išradęs Pitagoro kelnes ... Saltykov. Margos raidės. Pitagoro kelnės (geom.): stačiakampyje, hipotenuzės kvadratas ... ... Michelsono Didysis aiškinamasis frazeologijos žodynas (originali rašyba)

Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis- juokingas Pitagoro teoremos įrodymas; taip pat juokais apie bičiulio aptemptas kelnes... Liaudies frazeologijos žodynas

Adj., nemandagu...

PITAGORĖS KELNĖS IŠ VISŲ PUSŲ LYGIOS (SAGAGŲ SKAIČIUS ŽINOMAS. KODĖL TAI ARTI? / TAI ĮRODYTI, BŪTINA IŠIMTI IR RODYTI)- adj., grubus... Šiuolaikinės šnekamosios kalbos frazeologinių vienetų ir posakių aiškinamasis žodynas

kelnes- daiktavardis, pl., vartosena komp. dažnai Morfologija: pl. ką? kelnės, (ne) ką? kelnes kam? kelnės, (žr.) ką? kelnes kas? kelnės, ką? apie kelnes 1. Kelnės – tai drabužis, kuris turi dvi trumpas arba ilgas kojas ir dengia apačią ... ... Dmitrijevo žodynas

Knygos

Pitagoro kelnės,. Šioje knygoje rasite fantazijos ir nuotykių, stebuklų ir fantastikos. Juokinga ir liūdna, įprasta ir paslaptinga... O ko dar reikia pramoginiam skaitymui? Svarbiausia būti…

Romėnų architektas Vitruvijus išskyrė Pitagoro teoremą „iš daugybės atradimų, pasitarnavusių žmogaus gyvenimo raidai“, ir paragino ją vertinti su didžiausia pagarba. Tai buvo I amžiuje prieš Kristų. e. XVI–XVII amžių sandūroje garsus vokiečių astronomas Johannesas Kepleris jį pavadino vienu iš geometrijos lobių, prilygstančių aukso mastui. Vargu ar visoje matematikoje yra svaresnis ir reikšmingesnis teiginys, nes pagal mokslinių ir praktinių pritaikymų skaičių Pitagoro teoremai nėra lygių.

Pitagoro teorema lygiašonio stačiojo trikampio atveju.

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Pitagoro teoremos iliustracija iš Traktato apie matavimo ašigalį (Kinija, III a. pr. Kr.) ir jos pagrindu rekonstruotas įrodymas.

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

S. Perkinsas. Pitagoras.

Galimo Pitagoro įrodymo brėžinys.

"Pitagoro mozaika" ir an-Nairizi padalijimas iš trijų kvadratų Pitagoro teoremos įrodyme.

P. de Hochas. Šeimininkė ir tarnaitė kieme. Apie 1660 m.

I. Ohterveltas. Klajojantys muzikantai prie turtingo namo durų. 1665 m.

Pitagoro kelnės

Pitagoro teorema yra bene labiausiai atpažįstama ir neabejotinai garsiausia matematikos istorijoje. Geometrijoje jis naudojamas pažodžiui kiekviename žingsnyje. Nepaisant formuluotės paprastumo, ši teorema jokiu būdu nėra akivaizdi: žiūrint į stačiakampį trikampį su kraštinėmis a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза daugiau plotoši aikštė. Tiesą sakant, jo samprotavimai siekė įrodyti Pitagoro teoremą, nors ir konkrečiam trikampiui.

Fig., pavaizduotos pav. 1 ir 2, primena paprasčiausią kvadratų ir jų lygių dalių ornamentą – geometrinį raštą, žinomą nuo neatmenamų laikų. Jie gali visiškai uždengti lėktuvą. Matematikas tokį daugiakampiais plokštumos padengimą vadintų parketu, arba plytelėmis. Kodėl čia Pitagoras? Pasirodo, jis pirmasis išsprendė įprasto parketo problemą, pradėjusią tyrinėti įvairių paviršių plyteles. Taigi Pitagoras parodė, kad plokštuma aplink tašką gali būti padengta be tarpų tik vienodais taisyklingais daugiakampiais trijų tipų: šeši trikampiai, keturi kvadratai ir trys šešiakampiai.

Po 4000 metų

Pitagoro teoremos istorija siekia senovės laikus. Apie tai paminėta babiloniečių karaliaus Hamurabio laikų (XVIII a. pr. Kr.), tai yra 1200 metų iki Pitagoro gimimo, dantiraščio tekstuose. Teorema buvo pritaikyta kaip paruošta taisyklė daugeliui uždavinių, iš kurių paprasčiausias yra kvadrato įstrižainės išilgai jo kraštinės radimas. Gali būti, kad santykį a 2 + b 2 = c 2 savavališkam stačiakampiui trikampiui babiloniečiai gavo tiesiog „apibendrindami“ lygybę a 2 + a 2 = c 2 . Bet tai jiems pateisinama – senolių praktinei geometrijai, kuri buvo sumažinta iki matavimų ir skaičiavimų, griežtų pagrindimų nereikėjo.

Dabar, praėjus beveik 4000 metų, mes susiduriame su rekordine teorema, kalbant apie galimų įrodymų skaičių. Beje, jų kolekcionavimas – sena tradicija. Susidomėjimo Pitagoro teorema viršūnė nukrito ant antrosios pusė XIX- XX amžiaus pradžia. Ir jei pirmuosiuose rinkiniuose buvo ne daugiau kaip dvi ar trys dešimtys įrodymų, tai iki XIX amžiaus pabaigos jų skaičius priartėjo prie 100, o dar po pusės amžiaus viršijo 360, ir tai tik tie, kurie buvo surinkti iš įvairių. šaltiniai. Kas tiesiog nesiėmė šios nesenstančios užduoties sprendimo – nuo iškilių mokslininkų ir mokslo populiarintojų iki kongresmenų ir moksleivių. Ir kas nuostabu, savo sprendimo originalumu ir paprastumu kiti mėgėjai nenusileido profesionalams!

Seniausias Pitagoro teoremos įrodymas, atėjęs pas mus, yra maždaug 2300 metų senumo. Viena jų – griežta aksiomatinė – priklauso senovės graikų matematikui Euklidui, gyvenusiam IV-III a.pr.Kr. e. I elementų knygoje Pitagoro teorema yra išvardyta kaip 47 teiginys. Vizualiausi ir gražiausi įrodymai pastatyti ant „Pitagoro kelnių“ perbraižymo. Jie atrodo kaip išradinga kvadrato formos dėlionė. Tačiau priverskite figūras judėti teisingai - ir jos atskleis jums garsiosios teoremos paslaptį.

Čia yra elegantiškas įrodymas, gautas remiantis vieno senovės kinų traktato piešiniu (3 pav.), ir jo ryšys su kvadrato ploto padvigubinimo problema iškart tampa aiškus.

Būtent šį įrodymą savo jaunesniajam draugui bandė paaiškinti septynmetis Gvidas, anglų rašytojo Aldouso Huxley apysakos „Mažasis Archimedas“ skaisčiaakis herojus. Įdomu, kad pasakotojas, stebėjęs šį paveikslą, atkreipė dėmesį į įrodymų paprastumą ir įtikinamumą, todėl priskyrė jį ... pačiam Pitagorui. Bet Pagrindinis veikėjas fantastinis Jevgenijaus Veltistovo pasakojimas „Elektronika – berniukas iš lagamino“ žinojo 25 Pitagoro teoremos įrodymus, įskaitant Euklido pateiktus; Tiesa, jis klaidingai pavadino jį paprasčiausiu, nors iš tiesų šiuolaikiniame „Pradžių“ leidime jis užima pusantro puslapio!

Pirmasis matematikas

Pitagoras iš Samos (570–495 m. pr. Kr.), kurio vardas ilgą laiką buvo neatsiejamai susijęs su nuostabia teorema, tam tikra prasme gali būti vadinamas pirmuoju matematiku. Būtent nuo jo matematika prasideda kaip tikslusis mokslas, kuriame bet kokios naujos žinios yra ne vizualinių vaizdų ir taisyklių, išmoktų iš patirties, rezultatas, o loginio samprotavimo ir išvadų rezultatas. Tai vienintelis būdas kartą ir visiems laikams nustatyti bet kurio matematinio teiginio tiesą. Iki Pitagoro dedukcinį metodą naudojo tik senovės graikų filosofas ir mokslininkas Talis iš Mileto, gyvenęs VII–VI amžių sandūroje prieš Kristų. e. Jis išreiškė pačią įrodymo idėją, tačiau taikė ją nesistemingai, selektyviai, kaip taisyklė, akivaizdiems geometriniams teiginiams, tokiems kaip „skersmuo dalija apskritimą“. Pitagoras nuėjo daug toliau. Manoma, kad jis pristatė pirmuosius apibrėžimus, aksiomas ir įrodinėjimo metodus, taip pat sukūrė pirmąjį geometrijos kursą, žinomą senovės graikams pavadinimu „Pitagoro tradicija“. Ir jis stovėjo prie skaičių teorijos ir stereometrijos ištakų.

Kitas svarbus Pitagoro nuopelnas – šlovingos matematikų mokyklos įkūrimas, daugiau nei šimtmetį nulėmęs šio mokslo raidą m. Senovės Graikija. Pats terminas „matematika“ taip pat siejamas su jo vardu (iš graikų kalbos žodžio μαθημa – mokymas, mokslas), kuris apjungė keturias susijusias disciplinas, sukurtas Pitagoro ir jo pasekėjų – pitagoriečių – žinių sistemą: geometriją, aritmetiką, astronomiją ir harmonikų.

Neįmanoma atskirti Pitagoro pasiekimų nuo jo mokinių pasiekimų: vadovaudamiesi papročiu jie savo idėjas ir atradimus priskyrė savo Mokytojui. Pirmieji pitagoriečiai nepaliko jokių raštų, visą informaciją vienas kitam perdavė žodžiu. Taigi, praėjus 2500 metų, istorikams neliko nieko kito, kaip atkurti prarastas žinias pagal kitų, vėlesnių autorių transkripcijas. Padėkime graikams: nors jie apipino Pitagoro vardą daugybe legendų, jie nepriskyrė jam nieko, ko jis negalėtų atrasti ar išplėtoti į teoriją. Ir jo vardu pavadinta teorema nėra išimtis.

Toks paprastas įrodymas

Nežinia, ar Pitagoras pats atrado santykį tarp stačiojo trikampio kraštinių ilgių, ar pasiskolino šias žinias. Senovės autoriai tvirtino, kad jis pats, ir mėgo perpasakoti legendą, kaip Pitagoras savo atradimo garbei paaukojo jautį. Šiuolaikiniai istorikai yra linkę manyti, kad apie teoremą jis sužinojo susipažinęs su babiloniečių matematika. Taip pat nežinome, kokia forma Pitagoras suformulavo teoremą: aritmetiškai, kaip įprasta šiandien, hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai arba geometriškai, senovės dvasia, pastatytas kvadratas. stačiojo trikampio hipotenuzėje yra lygus ant jo pačiūžų pastatytų kvadratų sumai.

Manoma, kad Pitagoras pirmą kartą įrodė teoremą, pavadintą jo vardu. Žinoma, neišgyveno. Pagal vieną versiją, Pitagoras galėjo pasinaudoti savo mokykloje išvystyta proporcijų doktrina. Ja visų pirma rėmėsi panašumo teorija, kuria remiasi samprotavimai. Stačiakampiame trikampyje, kurio kojos a ir b, nubrėžkime aukštį iki hipotenuzės c. Mes gauname tris panašius trikampius, įskaitant originalų. Jų atitinkamos kraštinės yra proporcingos, a: c = m: a ir b: c = n: b, iš kur a 2 = c · m ir b 2 = c · n. Tada a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (4 pav.).

Tai tik vieno iš mokslo istorikų pasiūlyta rekonstrukcija, bet įrodymas, matai, gana paprastas: užtenka vos kelių eilučių, nereikia nieko baigti statyti, pertvarkyti, skaičiuoti... nenuostabu, kad jis buvo ne kartą atrastas iš naujo. Jis yra, pavyzdžiui, Leonardo iš Pizos (1220 m.) „Geometrijos praktikoje“ ir vis dar pateikiamas vadovėliuose.

Toks įrodymas neprieštaravo pitagoriečių mintims apie palyginamumą: iš pradžių jie tikėjo, kad bet kurių dviejų atkarpų ilgių santykį, taigi ir tiesių figūrų plotus, galima išreikšti natūraliaisiais skaičiais. Jie neatsižvelgė į jokius kitus skaičius, net neleido naudoti trupmenų, pakeisdami jas santykiais 1: 2, 2: 3 ir tt Tačiau ironiška, kad Pitagoro teorema paskatino pitagoriečius atrasti įstrižainės nesuderinamumą. aikštės ir jos pusės. Visi bandymai skaičiais pavaizduoti šios įstrižainės ilgį – vienetiniam kvadratui jis lygus √2 – nieko nedavė. Paaiškėjo, kad lengviau įrodyti, kad problema yra neišsprendžiama. Tokiu atveju matematikai turi patikrintą metodą – įrodinėjimą prieštaravimu. Beje, jis taip pat priskiriamas Pitagorui.

Natūraliaisiais skaičiais neišreiškiamo ryšio egzistavimas nutraukė daugelį pitagoriečių idėjų. Tapo aišku, kad jų žinomų skaičių nepakako net paprastiems uždaviniams išspręsti, jau nekalbant apie visą geometriją! Šis atradimas buvo lūžis graikų matematikos, jos pagrindinės problemos, raidoje. Pirmiausia tai paskatino nesulyginamų dydžių – iracionalumų – doktrinos vystymąsi, o vėliau – skaičiaus sampratos išplėtimą. Kitaip tariant, nuo jo prasidėjo šimtmečių senumo realiųjų skaičių aibės tyrimo istorija.

Pitagoro mozaika

Jei plokštumą padengsite dviejų skirtingų dydžių kvadratais, kiekvieną mažą kvadratą apjuosite keturiais dideliais, gausite Pitagoro mozaikinį parketą. Toks raštas jau seniai puošia akmenines grindis, primenančius senovinius Pitagoro teoremos įrodymus (iš čia ir kilo jo pavadinimas). Ant parketo įvairiais būdais uždėjus kvadratinį tinklelį, galima gauti skirtingų matematikų pasiūlytas stačiakampio trikampio kraštinėse pastatytų kvadratų pertvaras. Pavyzdžiui, jei tinklelį išdėstysite taip, kad visi jo mazgai sutaptų su viršutinėmis dešiniosiomis mažų kvadratų viršūnėmis, viduramžių persų matematiko an-Nairizio įrodymui atsiras piešinio fragmentai, kuriuos jis įdėjo į Euklido komentarus. "Principai". Nesunku pastebėti, kad didžiųjų ir mažųjų kvadratų, pradinių parketo elementų, plotų suma yra lygi vieno ant jo uždėto tinklelio kvadrato plotui. O tai reiškia, kad nurodyta pertvara tikrai tinka parketui kloti: sujungus gautus daugiakampius į kvadratus, kaip parodyta paveikslėlyje, galima jais užpildyti visą plokštumą be tarpų ir persidengimų.

Kūrybiškumo potencialas dažniausiai priskiriamas humanitariniams mokslams, paliekant natūralią mokslinę analizę, praktinį požiūrį ir sausą formulių bei skaičių kalbą. Matematikos negalima priskirti prie humanitarinių mokslų dalykų. Tačiau be kūrybiškumo „visų mokslų karalienėje“ toli nenueisite – žmonės apie tai žinojo jau seniai. Pavyzdžiui, nuo Pitagoro laikų.

Mokykliniuose vadovėliuose, deja, dažniausiai nepaaiškinama, kad matematikoje svarbu ne tik prigrūsti teoremas, aksiomas ir formules. Svarbu suprasti ir pajusti pagrindinius jos principus. Ir tuo pačiu pasistenkite išlaisvinti savo mintis nuo klišių ir elementarių tiesų – tik tokiomis sąlygomis gimsta visi didieji atradimai.

Tokie atradimai apima tą, kurį šiandien žinome kaip Pitagoro teoremą. Jos pagalba bandysime parodyti, kad matematika ne tik gali, bet ir turi būti smagu. Ir kad šis nuotykis tinka ne tik storžieviams akiniams, bet visiems, kurie tvirti protu ir tvirta dvasia.

Iš problemos istorijos

Griežtai kalbant, nors teorema vadinama „Pitagoro teorema“, pats Pitagoras jos neatrado. Stačiakampis trikampis ir jo ypatingos savybės buvo tyrinėtos gerokai anksčiau. Šiuo klausimu yra du poliariniai požiūriai. Remiantis viena versija, Pitagoras pirmasis rado išsamų teoremos įrodymą. Kito teigimu, įrodymas nepriklauso Pitagoro autorystei.

Šiandien nebegalite patikrinti, kas teisus, o kas neteisus. Tik žinoma, kad Pitagoro įrodymas, jei jis kada nors egzistavo, neišliko. Tačiau yra prielaidų, kad garsusis įrodymas iš Euklido elementų gali priklausyti Pitagorui, o Euklidas jį tik užfiksavo.

Šiandien taip pat žinoma, kad stačiakampio trikampio problemos randamos Egipto šaltiniuose nuo faraono Amenemheto I laikų, Babilono molio lentelėse iš karaliaus Hamurabio valdymo laikų, senovės Indijos traktate Sulva Sutra ir senovės kinų veikale Zhou. -bi suan jin.

Kaip matote, Pitagoro teorema užėmė matematikų protus nuo seniausių laikų. Apytiksliai 367 įvairūs šiandien egzistuojantys įrodymai yra patvirtinimas. Jokia kita teorema šiuo atžvilgiu negali su ja konkuruoti. Įžymūs įrodymų autoriai yra Leonardo da Vinci ir 20-asis JAV prezidentas Jamesas Garfieldas. Visa tai byloja apie itin didelę šios teoremos svarbą matematikai: dauguma geometrijos teoremų yra išvestos iš jos arba vienaip ar kitaip su ja susijusios.

Pitagoro teoremos įrodymai

Mokykliniuose vadovėliuose dažniausiai pateikiami algebriniai įrodymai. Tačiau teoremos esmė yra geometrijoje, todėl visų pirma panagrinėkime tuos garsiosios teoremos įrodymus, kurie yra pagrįsti šiuo mokslu.

1 įrodymas

Paprasčiausiam Pitagoro teoremos stačiakampiui įrodymui reikia nustatyti idealias sąlygas: tegul trikampis būna ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Yra pagrindo manyti, kad būtent tokį trikampį iš pradžių laikė senovės matematikai.

pareiškimas "Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzos, yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, sumai" galima iliustruoti tokiu piešiniu:

Pažvelkite į lygiašonį stačiakampį trikampį ABC: hipotenuzėje AC galite sukurti kvadratą, sudarytą iš keturių trikampių, lygių pradiniam ABC. O ant kojelių AB ir BC pastatyta ant kvadrato, kurių kiekviename yra du panašūs trikampiai.

Beje, šis piešinys buvo daugelio anekdotų ir animacinių filmų, skirtų Pitagoro teoremai, pagrindas. Galbūt garsiausias yra "Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis":

2 įrodymas

Šis metodas sujungia algebrą ir geometriją ir gali būti vertinamas kaip senovės Indijos matematiko Bhaskari įrodymo variantas.

Sukurkite stačiakampį trikampį su kraštinėmis a, b ir c(1 pav.). Tada pastatykite du kvadratus, kurių kraštinės yra lygios dviejų kojų ilgių sumai - (a+b). Kiekviename iš kvadratų padarykite konstrukcijas, kaip parodyta 2 ir 3 paveiksluose.

Pirmajame kvadrate pastatykite keturis tokius pat trikampius, kaip parodyta 1 paveiksle. Rezultate gaunami du kvadratai: vienas su kraštine a, antras su kraštine. b.

Antrajame kvadrate keturi panašūs trikampiai sudaro kvadratą, kurio kraštinė lygi hipotenuzei c.

Sukonstruotų kvadratų plotų suma 2 pav. yra lygi kvadrato, kurį sukonstravome su kraštine c 3 pav., plotui. Tai galima lengvai patikrinti apskaičiuojant kvadratų plotus Fig. 2 pagal formulę. O įbrėžto kvadrato plotas 3 paveiksle. Iš didelio kvadrato su kraštine ploto atėmus keturių lygių stačiakampių trikampių, įrašytų į kvadratą, plotus (a+b).

Atsižvelgdami į visa tai, turime: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Išskleiskite skliaustus, atlikite visus reikiamus algebrinius skaičiavimus ir gaukite tai a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Tuo pačiu metu plotas, įrašytas 3 pav. kvadratas taip pat gali būti apskaičiuojamas naudojant tradicinę formulę S=c2. Tie. a2+b2=c2 Jūs įrodėte Pitagoro teoremą.

3 įrodymas

Tas pats senovės Indijos įrodymas aprašytas XII amžiuje traktate „Žinių karūna“ („Siddhanta Shiromani“), o kaip pagrindinį argumentą autorius naudoja kreipimąsi į matematinius gabumus ir mokinių stebėjimo galias bei gebėjimus. sekėjų: "Žiūrėk!".

Bet mes išanalizuosime šį įrodymą išsamiau:

Kvadrato viduje pastatykite keturis stačiakampius trikampius, kaip nurodyta brėžinyje. Pažymima didžiojo kvadrato, kuris kartu yra ir hipotenuzė, pusė Su. Pavadinkime trikampio kojas a ir b. Pagal brėžinį vidinio kvadrato pusė yra (a–b).

Naudokite kvadrato ploto formulę S=c2 Norėdami apskaičiuoti išorinio kvadrato plotą. Ir tuo pačiu metu apskaičiuokite tą pačią vertę, pridėdami vidinio kvadrato plotą ir keturių stačiųjų trikampių plotą: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Galite naudoti abi parinktis kvadrato plotui apskaičiuoti, kad įsitikintumėte, jog jie duoda tą patį rezultatą. Ir tai suteikia jums teisę tai užsirašyti c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Išsprendę gausite Pitagoro teoremos formulę c2=a2+b2. Teorema įrodyta.

4 įrodymas

Šis keistas senovės kinų įrodymas buvo vadinamas „Nuotakos kėde“ – dėl į kėdę panašios figūros, kuri susidaro iš visų konstrukcijų:

Jis naudoja piešinį, kurį jau matėme 3 paveiksle antrajame įrodyme. O vidinis kvadratas su kraštine c yra sukonstruotas taip pat, kaip ir aukščiau pateiktame senovės Indijos įrodyme.

Jei mintyse nupjovėte du žalius stačiakampius trikampius iš piešinio 1 pav., perkelkite juos į priešingos pusės prie alyvinių trikampių įstrižainių pritvirtinkite kvadratą su kraštine c ir hipotenomis, gausite figūrą, vadinamą „nuotakos kėde“ (2 pav.). Aiškumo dėlei tą patį galite padaryti su popieriniais kvadratais ir trikampiais. Pamatysite, kad „nuotakos kėdę“ sudaro du kvadratai: maži su šonu b ir didelis su šonu a.

Šios konstrukcijos leido senovės kinų matematikams ir mums, jiems sekantiems, prieiti prie tokios išvados c2=a2+b2.

5 įrodymas

Tai dar vienas būdas rasti Pitagoro teoremos sprendimą, pagrįstą geometrija. Jis vadinamas Garfieldo metodu.

Sukurkite statųjį trikampį ABC. Turime tai įrodyti BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Norėdami tai padaryti, tęskite koją AC ir sukurti segmentą CD, kuris lygus kojai AB. Apatinis statmenas REKLAMA linijos segmentas ED. Segmentai ED ir AC yra lygūs. sujungti taškus E ir AT, taip pat E ir NUO ir gaukite piešinį, kaip paveikslėlyje žemiau:

Norėdami įrodyti bokštą, vėl pasitelkiame jau išbandytą metodą: gautos figūros plotą randame dviem būdais ir išraiškas prilyginame viena kitai.

Raskite daugiakampio plotą LOVA galima padaryti sudėjus trijų jį sudarančių trikampių plotus. Ir vienas iš jų ERU, yra ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Taip pat nepamirškime to AB = CD, AC=ED ir BC=CE- tai leis mums supaprastinti įrašymą ir neperkrauti jo. Taigi, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Kartu akivaizdu, kad LOVA yra trapecija. Todėl apskaičiuojame jo plotą pagal formulę: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Mūsų skaičiavimams patogiau ir aiškiau pavaizduoti segmentą REKLAMA kaip atkarpų suma AC ir CD.

Parašykime abu būdus, kaip apskaičiuoti figūros plotą, tarp jų padėdami lygybės ženklą: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Mes naudojame mums jau žinomą ir aukščiau aprašytą segmentų lygybę, kad supaprastintume dešinę žymėjimo pusę: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. O dabar atveriame skliaustus ir transformuojame lygybę: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Baigę visas transformacijas, gauname būtent tai, ko mums reikia: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Įrodėme teoremą.

Žinoma, šis įrodymų sąrašas toli gražu nėra baigtas. Pitagoro teorema taip pat gali būti įrodyta naudojant vektorius, kompleksinius skaičius, diferencialines lygtis, stereometrija ir kt. Ir net fizikai: jei, pavyzdžiui, skystis pilamas į kvadratinius ir trikampius tūrius, panašius į parodytus brėžiniuose. Pilant skystį, galima įrodyti plotų lygybę ir dėl to pačią teoremą.

Keletas žodžių apie Pitagoro trynukus

Šis klausimas mažai nagrinėjamas arba visai nenagrinėjamas mokyklos mokymo programoje. Tuo tarpu tai labai įdomu ir turi didelę reikšmę geometrijoje. Pitagoro trigubai naudojami daugeliui matematinių uždavinių spręsti. Jų idėja gali būti jums naudinga tolesniam mokymuisi.

Taigi, kas yra Pitagoro trynukai? Vadinamieji natūralūs skaičiai, surinkti trimis, kurių dviejų kvadratų suma yra lygi trečiajam skaičiui kvadratu.

Pitagoro trigubai gali būti:

primityvus (visi trys skaičiai yra santykinai pirminiai);
neprimityvus (jei kiekvienas trigubo skaičius padauginamas iš to paties skaičiaus, gaunamas naujas trigubas, kuris nėra primityvus).

Dar prieš mūsų erą senovės egiptiečius žavėjo Pitagoro trynukų skaičiaus manija: užduotyse jie laikė stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3,4 ir 5 vienetų. Beje, bet kuris trikampis, kurio kraštinės yra lygios skaičiams iš Pitagoro trigubo, pagal nutylėjimą yra stačiakampis.

Pitagoro trigubų pavyzdžiai: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) ir kt.

Praktinis teoremos taikymas

Pitagoro teorema pritaikoma ne tik matematikoje, bet ir architektūroje bei statybose, astronomijoje ir net literatūroje.

Pirmiausia apie statybą: joje randa Pitagoro teorema platus pritaikymas užduotyse skirtingi lygiai sunkumų. Pavyzdžiui, pažiūrėkite į romaninį langą:

Lango plotį pažymėkime kaip b, tada didžiojo puslankio spindulį galima žymėti kaip R ir išreikšti per b: R=b/2. Mažesnių puslankių spindulys taip pat gali būti išreikštas b: r=b/4. Šioje užduotyje mus domina lango vidinio apskritimo spindulys (vadinkime jį p).

Pitagoro teorema tiesiog praverčia skaičiuojant R. Norėdami tai padaryti, naudojame stačiakampį trikampį, kuris paveikslėlyje pažymėtas punktyrine linija. Trikampio hipotenuzė susideda iš dviejų spindulių: b/4+p. Viena koja yra spindulys b/4, kitas b/2-p. Naudodami Pitagoro teoremą rašome: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Toliau atidarome skliaustus ir gauname b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Paverskime šią išraišką į bp/2=b 2 /4-bp. Ir tada mes suskirstome visus terminus į b, duodame gauti panašius 3/2*p=b/4. Ir galų gale mes tai surandame p=b/6– ko mums ir reikėjo.

Naudodami teoremą galite apskaičiuoti dvišlaičio stogo gegnių ilgį. Nustatykite, kokio aukščio turi būti mobiliojo ryšio bokštas, kad signalas pasiektų tam tikrą vietovė. Ir netgi stabiliai įdiegti Kalėdų eglutė miesto aikštėje. Kaip matote, ši teorema gyvena ne tik vadovėlių puslapiuose, bet dažnai praverčia ir realiame gyvenime.

Kalbant apie literatūrą, Pitagoro teorema įkvėpė rašytojus nuo antikos laikų ir tebekelia tai šiandien. Pavyzdžiui, XIX amžiaus vokiečių rašytojas Adelbertas von Chamisso buvo jos įkvėptas parašyti sonetą:

Tiesos šviesa greitai neišsklaidys,
Tačiau sužibėjęs vargu ar išsisklaidys
Ir, kaip ir prieš tūkstančius metų,
Nekels abejonių ir ginčų.

Išmintingiausias, kai paliečia akį
Tiesos šviesa, ačiū dievams;
Ir šimtas bulių, nudurtų, meluoja -
Laimingojo Pitagoro grąžinimo dovana.

Nuo tada jaučiai beviltiškai riaumoja:
Amžinai sužadino bulių gentį
čia paminėtas įvykis.

Jie mano, kad atėjo laikas
Ir vėl jie bus paaukoti
Puiki teorema.

(vertė Viktoras Toporovas)

O dvidešimtajame amžiuje sovietų rašytojas Jevgenijus Veltistov savo knygoje „Elektronikos nuotykiai“ visą skyrių paskyrė Pitagoro teoremos įrodymams. Ir pusė istorijos apie dvimatį pasaulį, kuris galėtų egzistuoti, jei Pitagoro teorema taptų pagrindiniu vieno pasaulio įstatymu ir net religija. Jame gyventi būtų daug lengviau, bet ir daug nuobodžiau: pavyzdžiui, niekas ten nesupranta žodžių „apvalus“ ir „pūkuotas“ reikšmės.

O knygoje „Elektronikos nuotykiai“ autorius matematikos mokytojos Tarataros lūpomis sako: „Matematikoje svarbiausia yra minčių judėjimas, naujos idėjos“. Būtent šis kūrybinis minties polėkis sukuria Pitagoro teoremą – ne veltui ji turi tiek daug įvairiausių įrodymų. Tai padeda peržengti įprastas ribas ir pažvelgti į pažįstamus dalykus naujai.

Išvada

Šis straipsnis buvo sukurtas tam, kad galėtumėte pažvelgti ne tik į mokyklinę matematikos programą ir išmokti ne tik tuos Pitagoro teoremos įrodymus, kurie pateikiami vadovėliuose „Geometrija 7-9“ (L.S. Atanasyanas, V.N. Rudenko) ir „Geometrija 7 -11“. “ (A.V. Pogorelovas), bet ir kitus kurioziškus būdus įrodyti garsiąją teoremą. Taip pat pažiūrėkite, kaip Pitagoro teorema gali būti taikoma kasdieniame gyvenime.

Pirma, ši informacija leis jums gauti aukštesnius balus matematikos pamokose – informacija šia tema iš papildomų šaltinių visada yra labai vertinama.

Antra, norėjome padėti jums pajusti, kokia įdomi yra matematika. Įsitikinkite konkrečių pavyzdžių kad kūrybiškumui visada yra vietos. Tikimės, kad Pitagoro teorema ir šis straipsnis įkvėps jus atlikti savo tyrimus ir įdomių atradimų matematikos ir kitų mokslų srityse.

Pasakykite mums komentaruose, jei jums pasirodė įdomūs straipsnyje pateikti įrodymai. Ar ši informacija jums buvo naudinga studijuojant? Praneškite mums, ką manote apie Pitagoro teoremą ir šį straipsnį – mes mielai visa tai aptarsime su jumis.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Nedidelė šios teoremos eilutė, kuri buvo sugalvota netrukus po įrodymo, tiesiogiai įrodo hipotezės savybes: „Pitagoro kelnės yra lygios visomis kryptimis“. Ši dviejų eilučių įstojo į daugelio žmonių atmintį – iki šių dienų eilėraštis prisimenamas skaičiuojant.
Ši teorema buvo pavadinta „Pitagoro kelnėmis“ dėl to, kad piešiant per vidurį buvo gautas stačiakampis trikampis, kurio šonuose buvo kvadratai. Išvaizda šis piešinys priminė kelnes – iš čia ir kilo hipotezės pavadinimas.
Pitagoras didžiavosi sukurta teorema, nes ši hipotezė nuo panašių skiriasi maksimaliu įrodymų kiekiu. Svarbu: lygtis buvo įtraukta į Gineso rekordų knygą dėl 370 teisingų įrodymų.
Hipotezę įvairiais būdais įrodė daugybė matematikų ir profesorių iš įvairių šalių.. Anglų matematikas Jonesas, netrukus po hipotezės paskelbimo, ją įrodė diferencialinės lygties pagalba.
Šiuo metu niekas nežino paties Pitagoro teoremos įrodymo. Faktai apie matematiko įrodymus šiandien nėra žinomi niekam. Manoma, kad Euklido piešinių įrodymas yra Pitagoro įrodymas. Tačiau kai kurie mokslininkai ginčijasi su šiuo teiginiu: daugelis mano, kad Euklidas savarankiškai įrodė teoremą, be hipotezės kūrėjo pagalbos.
Dabartiniai mokslininkai išsiaiškino, kad didysis matematikas nebuvo pirmasis, atradęs šią hipotezę.. Lygtis buvo žinoma dar ilgai prieš Pitagoro atradimą. Šiam matematikui pavyko tik iš naujo sujungti hipotezę.
Pitagoras nedavė lygties pavadinimo „Pitagoro teorema“. Šis pavadinimas buvo užfiksuotas po „garsiai dvieiliui“. Matematikas tik norėjo, kad visas pasaulis pripažintų ir panaudotų jo pastangas bei atradimus.
Moritzas Kantoras - didžiausias matematikas, rado ir pamatė užrašus su piešiniais ant senovinio papiruso. Netrukus po to Kantoras suprato, kad ši teorema egiptiečiams buvo žinoma jau 2300 m. pr. Kr. Tik tada niekas tuo nepasinaudojo ir nebandė to įrodyti.
Dabartiniai mokslininkai mano, kad hipotezė buvo žinoma jau VIII amžiuje prieš Kristų. To meto Indijos mokslininkai atrado apytikslį trikampio su stačiais kampais hipotenuzės apskaičiavimą. Tiesa, tuo metu niekas negalėjo tiksliai įrodyti lygties apytiksliais skaičiavimais.
Didysis matematikas Bartelas van der Waerdenas, įrodęs hipotezę, padarė svarbią išvadą: „Graikų matematiko nuopelnu laikomas ne krypties ir geometrijos atradimas, o tik jos pateisinimas. Pitagoro rankose buvo skaičiavimo formulės, kurios buvo pagrįstos prielaidomis, netiksliais skaičiavimais ir neaiškiomis idėjomis. Tačiau išskirtiniam mokslininkui pavyko tai paversti tiksliuoju mokslu.
Žinomas poetas pasakojo, kad tą dieną, kai atrado savo piešinį, jis jaučiams pastatė šlovingą auką.. Būtent po hipotezės atradimo pasklido gandai, kad šimto jaučių auka „klaidžiojo knygų ir leidinių puslapiuose“. Protas iki šiol juokauja, kad nuo tada visi jaučiai bijo naujo atradimo.
Įrodymas, kad Pitagoras nesugalvojo eilėraščio apie kelnes, kad įrodytų jo pateiktus piešinius: per didžiojo matematiko gyvenimą kelnių dar nebuvo. Jie buvo išrasti po kelių dešimtmečių.
Pekka, Leibnicas ir keli kiti mokslininkai bandė įrodyti anksčiau žinomą teoremą, tačiau niekam nepavyko.
Piešinių pavadinimas „Pitagoro teorema“ reiškia „įtikinėjimas kalba“. Tai yra žodžio Pitagoras vertimas, kurį matematikas paėmė kaip pseudonimą.
Pitagoro apmąstymai apie jo paties valdymą: to, kas egzistuoja žemėje, paslaptis slypi skaičiuose. Mat matematikas, remdamasis savo hipoteze, tyrinėjo skaičių savybes, atskleidė lygumą ir nelygumą, kūrė proporcijas.

Tikimės, kad jums patiko pasirinkimas su nuotraukomis - Įdomūs faktai apie Pitagoro teoremą: sužinokite naujų dalykų apie garsiąją teoremą (15 nuotraukų) internete geros kokybės. Prašome palikti savo nuomonę komentaruose! Kiekviena nuomonė mums svarbi.