Darbo tekstas patalpintas be vaizdų ir formulių.
Pilna versija darbą galima rasti skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu
"Aš taip pat, Niutono dvinaris!»
iš „Meistras ir Margarita“.
„Paskalio trikampis toks paprastas, kad net dešimties metų vaikas gali jį užrašyti. Kartu ji slepia neišsenkamus lobius ir sujungia įvairius matematikos aspektus, kurie iš pirmo žvilgsnio neturi nieko bendra. Tokios neįprastos savybės leidžia Paskalio trikampį laikyti viena elegantiškiausių schemų visoje matematikoje.
Martinas Gardneris.
Tikslas: apibendrinti sutrumpintos daugybos formules, parodyti jų pritaikymą sprendžiant uždavinius.
Užduotys:
1) studijuoti ir sisteminti informaciją šiuo klausimu;
2) išanalizuoti Niutono dvinario naudojimo uždavinių pavyzdžius ir laipsnių sumos ir skirtumo formules.
Tyrimo objektai: Niutono dvinaris, laipsnių sumos ir skirtumo formulės.
Tyrimo metodai:
Darbas su edukacine ir mokslo populiarinimo literatūra, interneto šaltiniais.
Skaičiavimai, palyginimas, analizė, analogija.
Aktualumas.Žmogui dažnai tenka susidurti su problemomis, kuriose reikia suskaičiuoti visų įmanomų būdų sutvarkyti kokius nors objektus skaičių arba visų įmanomų būdų, kaip atlikti kokį nors veiksmą, skaičių. Įvairūs keliai ar galimybės, kurias turi pasirinkti žmogus, sudaro daugybę įvairių derinių. O visa matematikos šaka, vadinama kombinatorika, užsiima atsakymų paieška į klausimus: kiek tuo ar kitu atveju yra kombinacijų.
Su kombinatoriniais dydžiais tenka susidurti daugelio specialybių atstovams: mokslininkui chemikui, biologui, dizaineriui, dispečeriui ir kt.. Pastaraisiais metais augantį susidomėjimą kombinatorika lemia sparti kibernetikos ir kompiuterinių technologijų plėtra.
Įvadas
Kai jie nori pabrėžti, kad pašnekovas perdeda užduočių, su kuriomis susidūrė, sudėtingumą, jie sako: „Man taip pat reikia Niutono dvinario! Sakyk, čia Niutono dvinaris, sunku, bet kokių problemų turi! Apie Niutono dvinarį yra girdėję net tie žmonės, kurių interesai neturi nieko bendra su matematika.
Žodis „binomas“ reiškia dvinarį, t.y. dviejų terminų suma. Iš mokyklos kursasžinomos vadinamosios sutrumpintos daugybos formulės:
( a+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .
Šių formulių apibendrinimas yra formulė, vadinama Niutono binomine formule. Kvadratų skirtumo, kubų sumos ir skirtumo faktoringo formulės naudojamos ir mokykloje. Ar jie turi apibendrinimą kitiems laipsniams? Taip, yra tokių formulių, jos dažnai naudojamos sprendžiant įvairius uždavinius: įrodant dalijamumą, mažinant trupmenas, apytiksliai skaičiuojant.
Apibendrinančių formulių tyrimas ugdo dedukcinį-matematinį mąstymą ir bendruosius protinius gebėjimus.
1 SKYRIUS. NIUTONO BINOMINĖ FORMULĖ
Deriniai ir jų savybės
Tegu X yra aibė, susidedanti iš n elementų. Bet kuris aibės X poaibis Y, kuriame yra k elementų, vadinamas k elementų deriniu iš n ir k ≤ n .
Skirtingų k elementų derinių skaičius iš n žymimas C n k . Viena iš svarbiausių kombinatorikos formulių yra tokia skaičiaus C n k formulė:
Jis gali būti parašytas po akivaizdžių sutrumpinimų taip:
Visų pirma,
Tai visiškai atitinka faktą, kad aibėje X yra tik vienas 0 elementų poaibis - tuščias poaibis.
Skaičiai C n k turi daugybę nepaprastų savybių.
Formulė С n k = С n - k n galioja, (3)
(3) formulės reikšmė yra ta, kad yra vienas su vienu atitikimas tarp visų k narių poaibių aibės iš X ir visų (n - k) narių poaibių iš X aibės: norint nustatyti šį atitikimą, pakanka, kad kiekvienas k-nario Y poaibis atitiktų jo papildinį aibėje X.
Formulė С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n galioja (4)
Kairėje pusėje esanti suma išreiškia visų aibės X poaibių skaičių (C 0 n – 0 narių poaibių skaičius, C 1 n – vienanarių poaibių skaičius ir pan.).
Bet kuriai k, 1≤ k≤ n , lygybė
C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)
Šią lygybę lengva gauti naudojant (1) formulę. Iš tikrųjų,
1.2. Niutono dvinarės formulės išvedimas
Apsvarstykite dvinario galias +b .
n = 0, (a +b ) 0 = 1
n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b
n = 2(+b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2
n = 3(+b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3
n = 4(+b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4
n=5(+b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5
Atkreipkite dėmesį į šiuos dėsningumus:
Gauto daugianario narių skaičius yra vienu didesnis už dvinalio eksponentą;
Pirmojo nario rodiklis mažėja nuo n iki 0, antrojo nario rodiklis didėja nuo 0 iki n;
Visų vienanarių laipsniai lygūs sąlygos dvinario laipsniams;
Kiekvienas monomis yra pirmosios ir antrosios išraiškos sandauga įvairių laipsnių o koks nors skaičius – dvinario koeficientas;
Binominiai koeficientai, esantys vienodu atstumu nuo plėtimosi pradžios ir pabaigos, yra lygūs.
Šių formulių apibendrinimas yra ši formulė, vadinama Niutono binomine formule:
(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)
Šioje formulėje n gali būti bet koks natūralusis skaičius.
Išvedame formulę (6). Pirmiausia parašykime:
(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)
kur yra padauginamų skliaustų skaičius n. Iš įprastos sumos dauginimo iš sumos taisyklės išplaukia, kad išraiška (7) yra lygi visų galimų sandaugų sumai, kurią galima sudaryti taip: bet kuris pirmoje iš sumų esantis narys a + b padauginta iš bet kurios antrosios sumos dalies a+b, bet kuriuo trečios sumos terminu ir pan.
Iš to, kas pasakyta, aišku, kad terminas posakyje už (a + b ) n suderinti (vienas su vienu) n ilgio eilutes, sudarytas iš raidžių a ir b. Tarp terminų bus panašių terminų; akivaizdu, kad tokie nariai atitinka eilutes, kuriose yra tiek pat raidžių a. Bet eilučių, kuriose yra lygiai k, skaičius padauginamas iš raidės a, yra lygus C n k . Vadinasi, visų terminų, kuriuose yra raidė a su koeficientu lygiai k kartų, suma yra lygi С n k a n - k b k . Kadangi k gali turėti reikšmes 0, 1, 2, ..., n-1, n, formulė (6) išplaukia iš mūsų samprotavimų. Atkreipkite dėmesį, kad (6) gali būti parašytas trumpiau: (8)
Nors (6) formulė vadinama Niutono vardu, iš tikrųjų ji buvo atrasta dar anksčiau nei Niutonas (pavyzdžiui, Paskalis tai žinojo). Niutono nuopelnas slypi tame, kad jis rado šios formulės apibendrinimą ne sveikųjų rodiklių atveju. Tai buvo I. Niutonas 1664-1665 m. išvedė formulę, išreiškiančią savavališkų trupmeninių ir neigiamų rodiklių dvejetainio laipsnį.
Skaičiai C 0 n , C 1 n , ..., C n n, įtraukti į (6) formulę, paprastai vadinami dvejetainiais koeficientais, kurie apibrėžiami taip:
Iš (6) formulės galima gauti keletą šių koeficientų savybių. Pavyzdžiui, darant prielaidą a=1, b = 1, gauname:
2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,
tie. formulė (4). Jei įdėtume a= 1, b = -1, tada turėsime:
0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n
arba С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .
Tai reiškia, kad plėtimosi lyginių narių koeficientų suma yra lygi nelyginių plėtimosi narių koeficientų sumai; kiekvienas iš jų lygus 2 n -1 .
Vienodu atstumu nuo plėtimosi galų esančių terminų koeficientai yra lygūs. Ši savybė išplaukia iš santykio: С n k = С n n - k
Įdomus ypatingas atvejis
(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0
arba trumpesnis (x +1) n = ∑C n k x n - k .
1.3. Polinomo teorema
Teorema.
Įrodymas.
Norint gauti monomiją atidarius skliaustus, reikia pasirinkti tuos skliaustus, iš kurių jis paimtas, iš kurių paimtas ir pan. ir tie skliaustai, iš kurių paimta. Šio monomio koeficientas sumažinus panašius terminus yra lygus būdų, kuriais galima pasirinkti tokį pasirinkimą, skaičiui. Pirmąjį pasirinkimų sekos žingsnį galima atlikti įvairiais būdais, antrąjį - , trečiąjį - ir pan., -ąjį žingsnį - būdais. Norimas koeficientas yra lygus sandaugai
2 SKYRIUS. Aukštesnių pavedimų išvestinės priemonės.
Aukštesnių eilių išvestinių sąvoka.
Tegul funkcija yra diferencijuota tam tikru intervalu. Tada jo išvestinė, paprastai kalbant, priklauso nuo X, tai yra, yra funkcija X. Todėl jo atžvilgiu vėl galime kelti klausimą dėl darinio egzistavimo.
Apibrėžimas . Pirmosios išvestinės vedinys vadinamas antros eilės vedinys arba antrasis vedinys ir žymimas simboliu arba, t.y.
Apibrėžimas . Antrosios išvestinės vedinys vadinamas trečiosios eilės išvestiniu arba trečiuoju išvestiniu ir žymimas simboliu arba.
Apibrėžimas . išvestinėn įsakymas funkcijas vadinamas pirmuoju išvestinės (n -1)-oji šios funkcijos eilė ir žymima simboliu arba:
Apibrėžimas . Vadinami aukštesnės už pirmąją eilės išvestiniai aukštesniųjų darinių.
komentuoti. Panašiai galima gauti formulę n– funkcijos išvestinė:
Antroji parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinė
Jei funkcija lygtimis pateikiama parametriškai, tai norint rasti antros eilės išvestinę, reikia diferencijuoti jos pirmosios išvestinės išraišką, kaip sudėtinga funkcija nepriklausomas kintamasis.
Nuo tada
ir atsižvelgiant į tai,
Mes tai suprantame, tai yra.
Panašiai galime rasti ir trečią išvestinę.
Sumos, sandaugos ir dalinio skirtumas.
Kadangi diferencialas gaunamas iš išvestinės, padauginus jį iš nepriklausomo kintamojo diferencialo, tai žinant pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestines, taip pat išvestinių radimo taisykles, galima prieiti prie panašių diferencialų radimo taisyklių.
1 0 . Konstantos skirtumas lygus nuliui.
2 0 . Baigtinio skaičiaus diferencijuojamų funkcijų algebrinės sumos diferencialas yra lygus šių funkcijų diferencialų algebrinei sumai .
3 0 . Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos diferencialas yra lygus pirmosios funkcijos sandaugų ir antrosios bei antrosios funkcijos skirtumo sandaugų ir pirmosios diferencialų sumai .
Pasekmė. Pastovų koeficientą galima paimti iš diferencialo ženklo.
2.3. Funkcijos pateiktos parametriškai, jų diferenciacija.
Apibrėžimas . Sakoma, kad funkcija yra parametriškai apibrėžta, jei abu kintamieji X ir y kiekviena atskirai apibrėžiama kaip to paties pagalbinio kintamojo – parametro – vienareikšmės funkcijost :
kurt viduje keičiasi.
komentuoti . Pateikiame parametrines apskritimo ir elipsės lygtis.
a) Apskritimas, kurio centras yra taške ir spinduliu r turi parametrines lygtis:
b) Parašykime elipsės parametrines lygtis:
Išskyrus parametrą t Iš nagrinėjamų tiesių parametrinių lygčių galima gauti jų kanonines lygtis.
Teorema . Jei funkcija y iš argumento x yra pateikiamas parametriškai lygtimis, kur ir yra diferencijuojami atsižvelgiant įt funkcijas ir tada.
2.4. Leibnizo formulė
Norėdami rasti išvestinę n Dviejų funkcijų sandaugos eilės tvarka Leibnizo formulė turi didelę praktinę reikšmę.
Leisti u ir v- kai kurios funkcijos iš kintamojo X turintys bet kokios eilės darinius ir y = UV. Express n-toji išvestinė per funkcijų išvestinius u ir v .
Mes nuosekliai
Nesunku pastebėti analogiją tarp antrojo ir trečiojo išvestinių išraiškų ir Niutono dvinario išplėtimo atitinkamai antroje ir trečiojoje laipsnuose, tačiau vietoj eksponentų yra skaičiai, nulemiantys išvestinės eiliškumą, ir pačios funkcijos gali būti laikomos „nulinės eilės išvestinėmis“. Atsižvelgdami į tai, gauname Leibnizo formulę:
Šią formulę galima įrodyti matematine indukcija.
3 SKYRIUS. LEIBNIZO FORMULĖS TAIKYMAS.
Norėdami apskaičiuoti bet kurios eilės išvestinę iš dviejų funkcijų sandaugos, apeinant nuoseklų dviejų funkcijų sandaugos išvestinės apskaičiavimo formulės taikymą, naudojame Leibnizo formulė.
Naudodami šią formulę apsvarstykite dviejų funkcijų sandaugos n-osios išvestinės apskaičiavimo pavyzdžius.
1 pavyzdys
Raskite antrąją funkcijos išvestinę
Pagal apibrėžimą antrasis vedinys yra pirmasis vedinys iš pirmojo vedinio, t.y.
Todėl pirmiausia randame duotosios funkcijos pirmosios eilės išvestinę pagal diferenciacijos taisyklės ir naudojant išvestinė lentelė:
Dabar randame pirmosios eilės išvestinę. Tai bus norima antros eilės išvestinė:
Atsakymas:
2 pavyzdys
Raskite funkcijos trečiosios eilės išvestinę
Sprendimas.
Mes paeiliui rasime duotosios funkcijos pirmosios, antrosios, trečiosios ir tt išvestinius, kad sukurtume modelį, kurį būtų galima apibendrinti iki -tosios išvestinės.
Pirmosios eilės išvestinį randame kaip dalinio išvestinė:
Čia išraiška vadinama skaičiaus faktorialu. Skaičiaus faktorialas yra lygus skaičių sandaugai nuo vieno iki, tai yra,
Antrasis vedinys yra pirmasis vedinys iš pirmojo vedinio, t
Trečiosios eilės išvestinė:
Ketvirtasis išvestinis:
Atkreipkite dėmesį į dėsningumą: skaitiklyje yra skaičiaus faktorialas, lygus išvestinės eilės tvarkai, o vardiklyje yra išraiška laipsnyje vienu daugiau nei išvestinės eilės tvarka, ty
Atsakymas.
3 pavyzdys
Raskite funkcijos trečiosios išvestinės reikšmę taške.
Sprendimas.
Pagal aukštesnės eilės išvestinių priemonių lentelė, mes turime:
Šiame pavyzdyje, tai yra, mes gauname
Atkreipkite dėmesį, kad panašų rezultatą galima gauti ir paeiliui ieškant išvestinių priemonių.
AT duotas taškas trečioji išvestinė yra:
Atsakymas:
4 pavyzdys
Raskite antrąją funkcijos išvestinę
Sprendimas. Pirmiausia suraskime pirmąjį išvestinį:
Norėdami rasti antrąją išvestinę, dar kartą atskiriame pirmosios išvestinės išraišką:
Atsakymas:
5 pavyzdys
Rasti, jei
Kadangi pateikta funkcija yra dviejų funkcijų sandauga, norint rasti ketvirtos eilės išvestinę, patartina taikyti Leibnizo formulę:
Randame visas išvestines ir apskaičiuojame dėmenų koeficientus.
1) Apskaičiuokite terminų koeficientus:
2) Raskite funkcijos išvestinius:
3) Raskite funkcijos išvestinius:
Atsakymas:
6 pavyzdys
Pateikta funkcija y=x 2 cos3x. Raskite trečiosios eilės išvestinę.
Tegu u=cos3x , v=x 2 . Tada pagal Leibnizo formulę randame:
Šios išraiškos dariniai yra šie:
(cos3x)′=−3sin3x,
(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,
(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,
(x2)′=2x,
(x2)′′=2,
(x2)′′′=0.
Todėl trečioji duotosios funkcijos išvestinė yra
1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0
27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.
7 pavyzdys
Rasti išvestinę n - užsakymo funkcija y = x 2 cosx.
Mes naudojame Leibnizo formulę, nustatymąu = cosx, v=x 2 . Tada
Likę serijos nariai yra lygūs nuliui, nes(x2)(i)=0, kai i>2.
Išvestinė n - kosinuso funkcija:
Todėl mūsų funkcijos išvestinė yra
IŠVADA
Mokykloje tiriamos ir naudojamos vadinamosios sutrumpintos daugybos formulės: dviejų reiškinių sumos ir skirtumo kvadratai ir kubai bei formulės kvadratų skirtumui, dviejų reiškinių kubų sumai ir skirtumui apskaičiuoti. Šių formulių apibendrinimas yra formulė, vadinama Niutono binomine formule, ir formulės, skirtos koeficientų sumai ir skirtumui apskaičiuoti. Šios formulės dažnai naudojamos sprendžiant įvairius uždavinius: įrodant dalumą, mažinant trupmenas, atliekant apytikslius skaičiavimus. Nagrinėjamos įdomios Paskalio trikampio savybės, glaudžiai susijusios su Niutono dvinaliu.
Darbe susisteminta informacija šia tema, pateikiami Niutono dvinario naudojimo užduočių pavyzdžiai, laipsnių sumos ir skirtumo formulės. Darbą galima panaudoti matematinio būrelio darbe, taip pat ir už savarankiškas mokymasis tiems, kurie domisi matematika.
NAUDOJAMŲ ŠALTINIŲ SĄRAŠAS
1. Vilenkin N. Ya. Kombinatorika. – red. "Mokslas". - M., 1969 m
2. Nikolskis S.M., Potapovas M.K., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui organizacijos pagrindinio ir aukštesniojo lygio - M.: Švietimas, 2014. - 431 p.
3. Statistikos, kombinatorikos ir tikimybių teorijos uždavinių sprendimas. 7-9 langeliai / autorius - sudarytojas V.N. Studenetskaja. - red. 2, pataisyta, - Volgogradas: mokytojas, 2009 m
4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Aukštesnių laipsnių algebrinės lygtys / įrankių rinkinys tarpuniversitetinio parengiamojo skyriaus studentams. – Sankt Peterburgas, 2001 m.
5. Šaryginas I.F. Pasirenkamas matematikos kursas: Problemų sprendimas. Pamoka 10 ląstelių. vidurinė mokykla. - M.: Švietimas, 1989 m.
6.Mokslas ir gyvenimas, Niutono dvinaris ir Paskalio trikampis[Elektroninis išteklius]. - Prieigos režimas: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/
Aukštesnių užsakymų išvestinės priemonės
Šioje pamokoje išmoksime rasti aukštesnės eilės išvestines, taip pat parašysime bendrą „n-osios“ išvestinės formulę. Be to, bus svarstoma Leibnizo formulė tokiai darinei ir, pagal populiarų poreikį, aukštesnės eilės dariniai numanoma funkcija. Siūlau nedelsiant atlikti mini testą:
Štai funkcija: 
ir čia yra pirmasis jo vedinys:
Jei dėl šio pavyzdžio kiltų kokių nors sunkumų / nesusipratimų, pradėkite nuo dviejų pagrindinių mano kurso straipsnių: Kaip rasti išvestinę priemonę? ir Sudėtingos funkcijos išvestinė. Įvaldžius elementarius vedinius, rekomenduoju perskaityti pamoką Paprasčiausios išvestinės problemos, dėl kurių mes ypač nagrinėjome antrasis darinys.
Nesunku net atspėti, kad antrasis vedinys yra 1-ojo darinio vedinys:
Iš esmės antrasis vedinys jau laikomas aukštesnės eilės vediniu.
Panašiai: trečioji išvestinė yra 2-osios išvestinė:
Ketvirtasis vedinys yra 3-iosios vedinys: 
Penkta išvestinė: 
, ir akivaizdu, kad visos aukštesnės eilės išvestinės taip pat bus lygios nuliui:
Be romėniško numeravimo, praktikoje dažnai naudojami šie pavadinimai:
, o „n-osios“ eilės išvestinė žymima . Tokiu atveju viršutinio indekso indeksas turi būti pateiktas skliausteliuose.- atskirti darinį nuo laipsnio „y“.
Kartais yra toks įrašas: 
- atitinkamai trečia, ketvirta, penkta, ..., "n-oji" vediniai.
Pirmyn be baimės ir abejonių:
1 pavyzdys
Suteikta funkcija. Rasti.
Sprendimas: ka gali pasakyti... - pirmyn ketvirtam dariniui :) 
Nebeįmanoma daryti keturių brūkšnių, todėl pereiname prie skaitinių indeksų:
Atsakymas:
Gerai, dabar pagalvokime apie šį klausimą: ką daryti, jei pagal sąlygą reikia rasti ne 4, o, pavyzdžiui, 20 išvestinį? Jei 3-4-5 išvestinei (daugiausia, 6-7)įsakymas, sprendimas surašomas gana greitai, tada „pateksime“ prie aukštesnių užsakymų išvestinių, oi, kaip negreit. Neužsirašyk, tiesą sakant, 20 eilučių! Esant tokiai situacijai, turite išanalizuoti keletą rastų išvestinių, pamatyti modelį ir sudaryti „n-osios“ išvestinės formulę. Taigi 1 pavyzdyje nesunku suprasti, kad su kiekvienu paskesniu diferencijavimu prieš eksponentą „iššoks“ papildomas „trigubas“, o bet kuriame žingsnyje „trigubo“ laipsnis yra lygus skaičiui išvestinė, todėl:
Kur yra savavališkas natūralusis skaičius.
Ir iš tikrųjų, jei , tada gaunama būtent 1-oji išvestinė: 
, jei – tada 2: ir t.t. Taigi, dvidešimtoji išvestinė nustatoma akimirksniu: – ir jokių „kilometrų lapų“!
Apšilimas savarankiškai:
2 pavyzdys
Raskite funkcijų. Parašykite eilės išvestinę
Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Po gaivinančio apšilimo pažvelkime į daugiau sudėtingų pavyzdžių, kuriame parengsime aukščiau pateiktą sprendimo algoritmą. Tiems, kurie perskaitė pamoką Sekos riba, bus šiek tiek lengviau:
3 pavyzdys
Raskite funkciją.
Sprendimas: norėdami išsiaiškinti situaciją, randame keletą išvestinių:
Mes neskubame dauginti gautų skaičių! ;-) 
Galbūt pakankamai. ... net šiek tiek persistengiau.
Kitame žingsnyje geriausia parašyti „n-osios“ išvestinės formulę (kai tik sąlyga to nereikalauja, tuomet galite apsieiti su juodraščiu). Norėdami tai padaryti, žiūrime į gautus rezultatus ir nustatome modelius, pagal kuriuos gaunama kiekviena kita išvestinė.
Pirma, jie pasirašo. Interleaving suteikia "blykstė", o kadangi 1-oji išvestinė yra teigiama, į bendrą formulę pateks šis veiksnys: 
. Tiks ir lygiavertis variantas, bet man asmeniškai, kaip optimistui, patinka pliuso ženklas =)
Antra, skaitiklyje „vėjai“ faktorinis, ir jis vienu vienetu „atsilieka“ nuo išvestinės išvestinės dalies skaičiaus:
Ir trečia, „dviejų“ galia auga skaitiklyje, kuris yra lygus išvestinės skaičiui. Tą patį galima pasakyti ir apie vardiklio laipsnį. Pagaliau: 
Patikrinimo tikslais, pavyzdžiui, pakeiskime keletą reikšmių „en“ ir: 
Puiku, dabar suklysti yra tiesiog nuodėmė:
Atsakymas: 
Paprastesnė funkcija, skirta savarankiškas sprendimas:
4 pavyzdys
Raskite funkcijų.
Ir sudėtingesnė problema:
5 pavyzdys
Raskite funkcijų.
Pakartokime procedūrą dar kartą:
1) Pirmiausia randame keletą išvestinių. Paprastai pakanka trijų ar keturių, kad būtų galima sugauti modelius.
2) Tada primygtinai rekomenduoju sudaryti (bent jau juodraštyje)„n-tasis“ vedinys – garantuotai apsaugo nuo klaidų. Bet galima apsieiti ir be, t.y. mintyse įvertinkite ir iš karto užsirašykite, pavyzdžiui, dvidešimtą ar aštuntą išvestinę. Be to, kai kurie žmonės paprastai gali išspręsti svarstomas problemas žodžiu. Tačiau reikia atsiminti, kad „greitieji“ metodai yra kupini, ir geriau žaisti saugiai.
3) Paskutiniame etape patikriname „n-tąją“ išvestinę - paimame reikšmių porą „en“ (geriau nei kaimyninės) ir atliekame pakeitimą. O dar patikimiau – patikrinti visus anksčiau rastus darinius. Tada pakeičiame norimą reikšmę, pavyzdžiui, arba, ir atsargiai sušukuojame rezultatą.
Trumpas 4 ir 5 pavyzdžių sprendimas pamokos pabaigoje.
Kai kuriose užduotyse, kad išvengtumėte problemų, turite atlikti šiek tiek magijos su funkcija:
6 pavyzdys
Sprendimas: Aš visai nenoriu atskirti siūlomos funkcijos, nes ji pasirodys „bloga“ trupmena, todėl bus labai sunku rasti vėlesnių išvestinių.
Šiuo atžvilgiu patartina atlikti išankstines transformacijas: naudojame kvadratų formulės skirtumas ir logaritmo savybė 
:
Visai kitas reikalas:
Ir seni draugai: 
Manau, kad viskas yra peržiūrima. Atkreipkite dėmesį, kad 2-oji trupmena yra pasirašyta, bet 1-oji ne. Sudarome užsakymo išvestinę: 
Kontrolė: 
Na, o dėl grožio išimame faktorialą iš skliaustų:
Atsakymas: 
Įdomi savarankiško sprendimo užduotis:
7 pavyzdys
Parašykite funkcijos eilės išvestinę formulę
O dabar apie nepajudinamą abipusę atsakomybę, kurios pavydės net italų mafija:
8 pavyzdys
Suteikta funkcija. Rasti
Aštuonioliktoji išvestinė taške . Tiesiog.
Sprendimas: pirma, aišku, reikia rasti . Eiti: 
Jie pradėjo nuo sinuso ir priėjo prie sinuso. Aišku, kad toliau diferencijuojant šis ciklas tęsis iki begalybės, ir kyla toks klausimas: kaip geriausia „patekti“ į aštuonioliktą išvestinę?
„Mėgėjiškas“ metodas: stulpelyje dešinėje greitai užrašome vėlesnių išvestinių skaičių: 
Šiuo būdu:
Bet tai veikia, jei išvestinės eilės tvarka nėra per didelė. Jei reikia rasti, tarkime, šimtąją išvestinę, tuomet turėtumėte naudoti dalijimąsi iš 4. Šimtas dalijasi iš 4 be liekanos, ir nesunku pastebėti, kad tokie skaičiai yra apatinėje eilutėje, todėl: .
Beje, 18 išvestinę taip pat galima nustatyti remiantis panašiais svarstymais:
Antroje eilutėje yra skaičiai, kurie dalijasi iš 4, o likusioji dalis yra 2.
Kitas, labiau akademinis metodas yra pagrįstas sinusinis periodiškumas ir redukcijos formules. Mes naudojame paruoštą sinuso išvestinę formulę „n-oji“. 
, į kurį tiesiog pakeičiamas norimas skaičius. Pavyzdžiui:
(redukcijos formulė 
)
;
(redukcijos formulė 
)
Mūsų atveju:
(1) Kadangi sinusas yra periodinė funkcija su tašku, tai argumentą galima neskausmingai „atsukti“ 4 periodus (t.y.).
Dviejų funkcijų sandaugos eilės išvestinę galima rasti pagal formulę:
Visų pirma: 
Nereikia nieko specialiai prisiminti, nes kuo daugiau formulių žinai, tuo mažiau supranti. Daug geriau žinoti Niutono dvinaris, nes Leibnizo formulė labai labai panaši į jį. Na, o tie laimingieji, kurie gauna 7 ar aukštesnio laipsnio išvestinį (kas tikrai mažai tikėtina) bus priverstas tai padaryti. Tačiau kai ateis laikas kombinatorika- vis tiek turi =)
Raskime trečiąją funkcijos išvestinę . Mes naudojame Leibnizo formulę:
Tokiu atveju: 
. Išvestines lengva spustelėti žodžiu: 
Dabar atsargiai ir ATIDŽIAI atliekame pakeitimą ir supaprastiname rezultatą:
Atsakymas:
Panaši savarankiško sprendimo užduotis:
11 pavyzdys
Raskite funkcijų
Jei ankstesniame pavyzdyje sprendimas „ant kaktos“ dar konkuravo su Leibnizo formule, tai čia jau bus tikrai nemalonu. Ir dar nemalonu – aukštesnės eilės išvestinės atveju:
12 pavyzdys
Raskite nurodytos eilės išvestinę
Sprendimas: pirma ir esminė pastaba - taip apsispręsti, ko gero, nebūtina =) =)
Užrašykime funkcijas ir raskime jų išvestinius iki 5 eilės imtinai. Manau, kad dešiniojo stulpelio vediniai jums tapo žodiniais: 
Kairiajame stulpelyje „gyvos“ išvestinės greitai „baigė“ ir tai labai gerai - Leibnizo formulėje trys terminai bus nuliniai:
Dar kartą apsistosiu prie dilemos, kuri pasirodė straipsnyje kompleksiniai dariniai: supaprastinti rezultatą? Iš principo galima taip ir palikti – mokytojui bus dar lengviau patikrinti. Tačiau jis gali reikalauti, kad šis sprendimas atsimintų. Kita vertus, supaprastinimas savo iniciatyva yra kupinas algebrinių klaidų. Tačiau mes turime atsakymą, gautą „pirminiu“ būdu =) (žr. nuorodą pradžioje) ir tikiuosi, kad tai teisinga:
Puiku, viskas pavyko.
Atsakymas: 
Laiminga užduotis sprendžiant savarankiškai:
13 pavyzdys
Dėl funkcijos:
a) rasti tiesioginio diferencijavimo būdu;
b) rasti pagal Leibnizo formulę;
c) apskaičiuoti.
Ne, aš visai nesu sadistas – taškas „a“ čia gana paprastas =)
Bet jei rimtai, „tiesioginis“ sprendimas nuosekliai diferencijuojant taip pat turi „teisę į gyvybę“ - kai kuriais atvejais jo sudėtingumas yra panašus į Leibnizo formulės taikymo sudėtingumą. Naudokite taip, kaip jums atrodo tinkama – vargu ar tai bus pagrindas neskaičiuoti užduoties.
Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Norėdami pakelti paskutinę pastraipą, turite mokėti atskirti implicitines funkcijas:
Netiesioginių funkcijų aukštesnės eilės išvestinės
Daugelis iš mūsų ilgas valandas, dienas ir savaites praleido studijuodami apskritimai, parabolė, hiperbolė– o kartais net atrodė, kad tai tikra bausmė. Taigi atkeršykime ir tinkamai juos atskirkime!
Pradėkime nuo „mokyklos“ parabolės kanoninė pozicija:
14 pavyzdys
Pateikta lygtis. Rasti.
Sprendimas: pirmas žingsnis pažįstamas:
Tai, kad funkcija ir jos išvestinė išreiškiama netiesiogiai, nekeičia reikalo esmės, antroji išvestinė yra 1-osios išvestinės išvestinė: 
Tačiau yra žaidimo taisyklės: dažniausiai išreiškiami 2-ojo ir aukštesnio laipsnio vediniai tik per "x" ir "y". Todėl į gautą 2 išvestinę pakeičiame: 
Trečiasis vedinys yra 2-ojo vedinio vedinys:
Panašiai pakeiskime: 
Atsakymas:
„Mokyklos“ hiperbolė kanoninė pozicija- dėl savarankiškas darbas:
15 pavyzdys
Pateikta lygtis. Rasti.
Kartoju, kad 2-oji išvestinė ir rezultatas turi būti išreikšti tik per "x" / "y"!
Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Po vaikiškų išdaigų pažvelkime į vokišką pornografiją @ fia, pažvelkime į daugiau suaugusiųjų pavyzdžių, iš kurių sužinome dar vieną svarbų sprendimą:
16 pavyzdys
Elipsė pats.
Sprendimas: suraskite 1 išvestinį: 
O dabar sustokime ir paanalizuokime kitą momentą: dabar turime atskirti trupmeną, o tai visai nedžiugina. Šiuo atveju, žinoma, viskas paprasta, tačiau tikrosiose problemose tokių dovanų yra tik pora. Ar yra būdas išvengti sudėtingos išvestinės priemonės? Egzistuoja! Paimame lygtį ir naudojame tą pačią techniką, kaip ir rasdami 1-ą išvestinę - „kabiname“ potėpius ant abiejų dalių: 
Antroji išvestinė turi būti išreikšta tik per ir , todėl dabar (dabar) patogu atsikratyti 1-ojo vedinio. Norėdami tai padaryti, į gautą lygtį pakeičiame: 
Kad išvengtume nereikalingų techninių sunkumų, abi dalis padauginame iš: 
Ir tik paskutiniame etape sudarome trupmeną: 
Dabar žiūrime į pradinę lygtį ir pastebime, kad gautą rezultatą galima supaprastinti:
Atsakymas:
Kaip tam tikru momentu rasti 2-osios išvestinės vertę (kuri, žinoma, priklauso elipsei), pavyzdžiui, taške 
? Labai lengva! Su šiuo motyvu jau buvo susidurta pamokoje apie normalioji lygtis: 2-osios išvestinės išraiškoje reikia pakeisti 
:
Žinoma, visais trimis atvejais galite gauti aiškiai nurodytas funkcijas ir jas atskirti, bet tada protiškai pasiruoškite dirbti su dviem funkcijomis, turinčiomis šaknis. Mano nuomone, sprendimą patogiau atlikti „netiesiogiai“.
Galutinis savarankiško sprendimo pavyzdys:
17 pavyzdys
Raskite numanomą funkciją
Leibnizo formulė n-asis skaičiavimas dviejų funkcijų sandaugos išvestinė. Jo įrodymas pateikiamas dviem būdais. Nagrinėjamas n-osios eilės išvestinės apskaičiavimo pavyzdys.
TurinysTaip pat žiūrėkite: Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė
Leibnizo formulė
Naudodami Leibnizo formulę galite apskaičiuoti n-ąją dviejų funkcijų sandaugos išvestinę. Tai atrodo taip:
(1)
,
kur
yra binominiai koeficientai.
Binominiai koeficientai yra dvinario išplėtimo koeficientai ir laipsniais:
.
Taip pat skaičius yra kombinacijų skaičius nuo n iki k.
Leibnizo formulės įrodymas
Taikome dviejų funkcijų sandaugos išvestinės formulę:
(2)
.
Perrašykime formulę (2) tokia forma:
.
Tai yra, mes manome, kad viena funkcija priklauso nuo x kintamojo, o kita - nuo y kintamojo. Skaičiavimo pabaigoje darome prielaidą, kad . Tada ankstesnė formulė gali būti parašyta taip:
(3)
.
Kadangi išvestinė yra lygi terminų sumai, o kiekvienas narys yra dviejų funkcijų sandauga, tai norėdami apskaičiuoti aukštesnių laipsnių išvestines, galite nuosekliai taikyti taisyklę (3).
Tada n-osios eilės išvestinei turime:
.
Atsižvelgiant į tai ir , gauname Leibnizo formulę:
(1)
.
Įrodymas indukcija
Pateikiame Leibnizo formulės įrodymą matematinės indukcijos metodu.
Perrašykime Leibnizo formulę:
(4)
.
Jei n = 1, turime:
.
Tai yra dviejų funkcijų sandaugos išvestinės formulė. Ji sąžininga.
Tarkime, kad formulė (4) galioja n-osios eilės išvestinei. Įrodykime, kad jis galioja išvestinei n + 1 – įsakymas.
Atskirkite (4):
;
.
Taigi mes radome:
(5)
.
Pakeiskite (5) ir atsižvelkite į tai, kad:
.
Tai rodo, kad formulė (4) turi tokią pačią formą išvestinei n + 1
– įsakymas.
Taigi, formulė (4) galioja n = 1
. Darant prielaidą, kad tai teisinga tam tikram skaičiui n = m, išplaukia, kad tai teisinga n = m + 1
.
Leibnizo formulė buvo įrodyta.
Pavyzdys
Apskaičiuokite funkcijos n-ąją išvestinę
.
Taikome Leibnizo formulę
(2)
.
Mūsų atveju
;
.
Pagal išvestinių priemonių lentelę turime:
.
Taikome trigonometrinių funkcijų savybes:
.
Tada
.
Tai rodo, kad sinusinės funkcijos diferenciacija lemia jos poslinkį . Tada
.
Randame funkcijos išvestinius .
;
;
;
,
.
Kadangi , tik pirmieji trys Leibnizo formulės terminai yra nuliniai. Binominių koeficientų radimas.
;
.
Pagal Leibnizo formulę turime:
.