Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna versija darbs ir pieejams cilnē "Darba faili" PDF formātā

"Es arī, Ņūtona binomiāls!»

no "Meistars un Margarita".

“Paskāla trijstūris ir tik vienkāršs, ka pat desmit gadus vecs bērns to var izrakstīt. Tajā pašā laikā tas slēpj neizsmeļamus dārgumus un saista kopā dažādus matemātikas aspektus, kuriem no pirmā acu uzmetiena nav nekā kopīga. Šādas neparastas īpašības ļauj uzskatīt Paskāla trīsstūri par vienu no elegantākajām shēmām visā matemātikā.

Mārtiņš Gārdners.

Mērķis: vispārināt saīsinātās reizināšanas formulas, parādīt to pielietojumu uzdevumu risināšanā.

Uzdevumi:

1) izpētīt un sistematizēt informāciju par šo jautājumu;

2) analizēt uzdevumu piemērus Ņūtona binoma un grādu summas un starpības formulu izmantošanai.

Pētījuma objekti:Ņūtona binomiāls, formulas grādu summai un starpībai.

Pētījuma metodes:

Darbs ar izglītojošo un populārzinātnisko literatūru, interneta resursiem.

Aprēķini, salīdzināšana, analīze, analoģija.

Atbilstība. Cilvēkam bieži nākas saskarties ar problēmām, kurās ir jāsaskaita visu iespējamo veidu, kā sakārtot kādus objektus, vai arī visu iespējamo veidu skaitu, kā veikt kādu darbību. Dažādi ceļi vai iespējas, kas personai ir jāizvēlas, veido ļoti dažādas kombinācijas. Un vesela matemātikas nozare, ko sauc par kombinatoriku, ir aizņemta, meklējot atbildes uz jautājumiem: cik kombināciju ir šajā vai citā gadījumā.

Ar kombinatoriskajiem lielumiem nākas saskarties daudzu specialitāšu pārstāvjiem: zinātniekam ķīmiķim, biologam, dizainerim, dispečeram u.c.. Pēdējos gados pieaugošā interese par kombinatoriku ir saistīta ar kibernētikas un datortehnoloģiju straujo attīstību.

Ievads

Kad viņi vēlas uzsvērt, ka sarunu biedrs pārspīlē uzdevumu sarežģītību, ar kuriem viņš saskārās, viņi saka: "Man ir vajadzīgs arī Ņūtona binoms!" Sakiet, lūk, Ņūtona binomiāls, tas ir grūti, bet kādas jums problēmas! Pat tie cilvēki, kuru interesēm nav nekāda sakara ar matemātiku, ir dzirdējuši par Ņūtona binomiālu.

Vārds "binomiāls" nozīmē binomiālu, t.i. divu terminu summa. No skolas kurss ir zināmas tā sauktās saīsinātās reizināšanas formulas:

( a+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Šo formulu vispārinājums ir formula, ko sauc par Ņūtona binominālo formulu. Kvadrātu starpības, kubu summas un starpības faktorinācijas formulas izmanto arī skolā. Vai viņiem ir vispārinājums citiem grādiem? Jā, tādas formulas ir, tās bieži izmanto dažādu uzdevumu risināšanā: dalāmības pierādīšana, daļskaitļu samazināšana, aptuvenie aprēķini.

Vispārinošo formulu izpēte attīsta deduktīvi-matemātisko domāšanu un vispārējās garīgās spējas.

1. NODAĻA. ŅŪTONA BINOMĀLĀ FORMULA

Kombinācijas un to īpašības

Lai X ir kopa, kas sastāv no n elementiem. Jebkuru kopas X apakškopu Y, kas satur k elementus, sauc par k elementu kombināciju no n un k ≤ n .

Dažādu k elementu kombināciju skaitu no n apzīmē ar C n k . Viena no svarīgākajām kombinatorikas formulām ir šāda skaitļa C n k formula:

To var rakstīt pēc acīmredzamiem saīsinājumiem šādi:

It īpaši,

Tas pilnībā atbilst faktam, ka kopā X ir tikai viena 0 elementu apakškopa - tukša apakškopa.

Skaitļiem C n k ir vairākas ievērojamas īpašības.

Formula С n k = С n - k n ir derīga, (3)

Formulas (3) nozīme ir tāda, ka pastāv viena pret vienu atbilstība starp visu k dalībnieku apakškopu kopu no X un visu (n - k) locekļu apakškopu kopu no X: lai noteiktu šo atbilstību, pietiek ar to, ka katra Y apakškopa k-dalībnieku atbilst tās papildinājumam kopā X.

Formula С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n ir derīga (4)

Kreisajā pusē esošā summa izsaka visu kopas X apakškopu skaitu (C 0 n ir 0 locekļu apakškopu skaits, C 1 n ir vienlocekļa apakškopu skaits utt.).

Jebkuram k, 1≤ k≤ n , vienādība

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Šo vienādību ir viegli iegūt, izmantojot formulu (1). Patiešām,

1.2. Ņūtona binominālās formulas atvasināšana

Apsveriet binoma pilnvaras a +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2(+b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3(+b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4(+b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n=5(+b ) 5 = 1.a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Ievērojiet šādas likumsakarības:

Iegūtā polinoma vārdu skaits ir par vienu lielāks nekā binoma eksponents;

Pirmā vārda eksponents samazinās no n līdz 0, otrā vārda eksponents palielinās no 0 līdz n;

Visu monomu pakāpes ir vienādas ar nosacījuma binoma pakāpēm;

Katrs monoms ir pirmās un otrās izteiksmes reizinājums dažādas pakāpes un kāds skaitlis - binomiālais koeficients;

Binomiālie koeficienti, kas atrodas vienādā attālumā no paplašināšanas sākuma un beigām, ir vienādi.

Šo formulu vispārinājums ir šāda formula, ko sauc par Ņūtona binominālo formulu:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

Šajā formulā n var būt jebkurš naturāls skaitlis.

Mēs iegūstam formulu (6). Vispirms rakstīsim:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

kur ir reizināmo iekavu skaits n. No parastā likuma summas reizināšanai ar summu izriet, ka izteiksme (7) ir vienāda ar visu iespējamo reizinājumu summu, ko var veidot šādi: jebkurš vārds pirmajā no summām a + b reizināts ar jebkuru otrās summas termiņu a+b, uz jebkuru trešās summas termiņu utt.

No teiktā ir skaidrs, ka termins izteicienā par (a + b ) n saskaņot (viens pret vienu) virknes ar garumu n, kas sastāv no burtiem a un b. Starp terminiem būs līdzīgi termini; ir acīmredzams, ka šādi locekļi atbilst virknēm, kurās ir vienāds burtu skaits a. Bet rindiņu skaits, kas satur tieši k reizes ar burtu a, ir vienāds ar C n k . Tādējādi visu terminu summa, kas satur burtu a ar koeficientu tieši k reizes, ir vienāda ar С n k a n - k b k . Tā kā k var iegūt vērtības 0, 1, 2, ..., n-1, n, formula (6) izriet no mūsu argumentācijas. Ņemiet vērā, ka (6) var rakstīt īsāk: (8)

Lai gan formulu (6) sauc par Ņūtona vārdu, patiesībā tā tika atklāta vēl pirms Ņūtona (piemēram, Paskāls to zināja). Ņūtona nopelns slēpjas faktā, ka viņš atrada šīs formulas vispārinājumu neveselu eksponentu gadījumam. Tas bija I. Ņūtons 1664.-1665. atvasināja formulu, kas izsaka binoma pakāpi patvaļīgiem daļskaitļiem un negatīviem eksponentiem.

Skaitļus C 0 n , C 1 n , ..., C n n, kas iekļauti formulā (6), parasti sauc par binomiālajiem koeficientiem, kurus definē šādi:

No formulas (6) var iegūt vairākas šo koeficientu īpašības. Piemēram, pieņemot a=1, b = 1, mēs iegūstam:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

tie. formula (4). Ja liekam a= 1, b = -1, tad mums būs:

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

vai С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Tas nozīmē, ka izplešanās pāra vārdu koeficientu summa ir vienāda ar izplešanās nepāra vārdu koeficientu summu; katrs no tiem ir vienāds ar 2 n -1 .

Vienādā attālumā no izplešanās galiem esošo terminu koeficienti ir vienādi. Šī īpašība izriet no attiecības: С n k = С n n - k

Interesants īpašs gadījums

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

vai īsāks (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Polinoma teorēma

Teorēma.

Pierādījums.

Lai iegūtu monomu pēc kronšteinu atvēršanas, ir jāizvēlas tās iekavas, no kurām tas ņemts, tās, no kurām tas tiek ņemts utt. un tās iekavās, no kurām tas ņemts. Šī monoma koeficients pēc līdzīgu terminu samazināšanas ir vienāds ar veidu, kādos var izdarīt šādu izvēli. Izvēļu secības pirmo soli var veikt dažādos veidos, otro soli - , trešo - utt., -to soli - veidos. Vēlamais koeficients ir vienāds ar reizinājumu

2. SADAĻA. Augstāku pasūtījumu atvasinājumi.

Augstākas kārtas atvasinājumu jēdziens.

Lai funkcija ir diferencējama kādā intervālā. Tad tā atvasinājums, vispārīgi runājot, ir atkarīgs no X, tas ir, ir funkcija X. Tāpēc attiecībā uz to mēs atkal varam izvirzīt jautājumu par atvasinājuma esamību.

Definīcija . Pirmā atvasinājuma atvasinājumu sauc otrās kārtas atvasinājums vai otrais atvasinājums un tiek apzīmēts ar simbolu vai, t.i.

Definīcija . Otrā atvasinājuma atvasinājumu sauc par trešās kārtas atvasinājumu vai trešo atvasinājumu un apzīmē ar simbolu vai.

Definīcija . atvasinājumsn rīkojums funkcijas sauc par pirmo atvasinājuma atvasinājumu (n -1) šīs funkcijas secība un tiek apzīmēta ar simbolu vai:

Definīcija . Tiek saukti par pirmo augstākas kārtas atvasinājumi augstāki atvasinājumi.

komentēt. Līdzīgi var iegūt formulu n- funkcijas atvasinājums:

Otrais parametriski definētas funkcijas atvasinājums

Ja funkcija ir parametriski dota ar vienādojumiem, tad, lai atrastu otrās kārtas atvasinājumu, ir jādiferencē izteiksme tās pirmajam atvasinājumam, kā sarežģīta funkcija neatkarīgais mainīgais.

Kopš tā laika

un ņemot vērā to,

Mēs to sapratām, tas ir.

Līdzīgi mēs varam atrast trešo atvasinājumu.

Summas, reizinājuma un koeficienta starpība.

Tā kā diferenciālis tiek iegūts no atvasinājuma, reizinot to ar neatkarīga mainīgā diferenciāli, tad, zinot pamatelementāru funkciju atvasinājumus, kā arī atvasinājumu atrašanas noteikumus, var nonākt pie līdzīgiem diferenciāļu atrašanas noteikumiem.

1 0 . Konstantes diferenciālis ir nulle.

2 0 . Galīga skaita diferencējamu funkciju algebriskās summas diferenciālis ir vienāds ar šo funkciju diferenciāļu algebrisko summu .

3 0 . Divu diferencējamu funkciju reizinājuma diferenciālis ir vienāds ar pirmās funkcijas un otrās un otrās funkcijas diferenciāļa un pirmās funkcijas diferenciāļa reizinājumu summu .

Sekas. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no diferenciāļa zīmes.

2.3. Parametriski dotas funkcijas, to diferenciācija.

Definīcija . Tiek uzskatīts, ka funkcija ir parametriski definēta, ja abi mainīgie X un y tiek definēti katrs atsevišķi kā viena un tā paša palīgmainīgā - parametra - vienas vērtības funkcijast :

kurt izmaiņas iekšienē.

komentēt . Mēs piedāvājam apļa un elipses parametriskos vienādojumus.

a) Aplis, kura centrs ir sākuma punktā un rādiusā r ir parametru vienādojumi:

b) Uzrakstīsim elipses parametriskos vienādojumus:

Izslēdzot parametru t No aplūkojamo līniju parametriskajiem vienādojumiem var nonākt pie to kanoniskajiem vienādojumiem.

Teorēma . Ja funkcija y no argumenta x ir dots parametriski ar vienādojumiem, kur un ir diferencējami attiecībā prett funkcijas un pēc tam.

2.4. Leibnica formula

Lai atrastu atvasinājumu n divu funkciju reizinājuma kārtībā Leibnica formulai ir liela praktiska nozīme.

Ļaujiet u un v- dažas funkcijas no mainīgā X kam ir jebkuras kārtas atvasinājumi un y = UV. Express n-th atvasinājums caur funkciju atvasinājumiem u un v .

Mums ir konsekventi

Ir viegli pamanīt analoģiju starp otrā un trešā atvasinājuma izteiksmēm un Ņūtona binoma izvēršanu attiecīgi otrajā un trešajā pakāpē, taču eksponentu vietā ir skaitļi, kas nosaka atvasinājuma secību, un pašas funkcijas var uzskatīt par "nulles kārtas atvasinājumiem". Ņemot to vērā, mēs iegūstam Leibnica formulu:

Šo formulu var pierādīt ar matemātisko indukciju.

3. NODAĻA. LEIBŅA FORMULAS PIELIETOŠANA.

Lai aprēķinātu jebkuras kārtas atvasinājumu no divu funkciju reizinājuma, apejot divu funkciju reizinājuma aprēķina formulas secīgo pielietojumu, mēs izmantojam Leibnica formula.

Izmantojot šo formulu, apsveriet piemērus divu funkciju reizinājuma n-tā atvasinājuma aprēķināšanai.

1. piemērs

Atrodiet funkcijas otro atvasinājumu

Pēc definīcijas otrais atvasinājums ir pirmā atvasinājuma pirmais atvasinājums, t.i.

Tāpēc vispirms atrodam dotās funkcijas pirmās kārtas atvasinājumu saskaņā ar diferenciācijas noteikumi un izmantojot atvasinājumu tabula:

Tagad mēs atrodam pirmās kārtas atvasinājuma atvasinājumu. Šis būs vēlamais otrās kārtas atvasinājums:

Atbilde:

2. piemērs

Atrodiet funkcijas trešās kārtas atvasinājumu

Risinājums.

Mēs secīgi atradīsim dotās funkcijas pirmās, otrās, trešās un tā tālāk secības atvasinājumus, lai izveidotu modeli, ko var vispārināt līdz -.atvasinājumam.

Mēs atrodam pirmās kārtas atvasinājumu kā koeficienta atvasinājums:

Šeit izteiksmi sauc par skaitļa faktoriālu. Skaitļa faktoriāls ir vienāds ar skaitļu reizinājumu no viena līdz, tas ir,

Otrais atvasinājums ir pirmā atvasinājuma pirmais atvasinājums, tas ir

Trešās kārtas atvasinājums:

Ceturtais atvasinājums:

Ņemiet vērā likumsakarību: skaitītājs satur skaitļa faktoriālu, kas ir vienāds ar atvasinājuma secību, un saucējs satur izteiksmi pakāpē par vienu lielāku par atvasinājuma secību, tas ir,

Atbilde.

3. piemērs

Atrodiet funkcijas trešā atvasinājuma vērtību punktā.

Risinājums.

Saskaņā ar augstākas kārtas atvasinājumu tabula, mums ir:

Šajā piemērā, tas ir, mēs iegūstam

Ņemiet vērā, ka līdzīgu rezultātu var iegūt arī secīgi atrodot atvasinājumus.

AT dots punkts trešais atvasinājums ir:

Atbilde:

4. piemērs

Atrodiet funkcijas otro atvasinājumu

Risinājums. Vispirms atradīsim pirmo atvasinājumu:

Lai atrastu otro atvasinājumu, mēs vēlreiz diferencējam pirmā atvasinājuma izteiksmi:

Atbilde:

5. piemērs

Atrodi, ja

Tā kā dotā funkcija ir divu funkciju reizinājums, būtu ieteicams izmantot Leibnica formulu, lai atrastu ceturtās kārtas atvasinājumu:

Atrodam visus atvasinājumus un aprēķinām terminu koeficientus.

1) Aprēķiniet koeficientus terminiem:

2) Atrodiet funkcijas atvasinājumus:

3) Atrodiet funkcijas atvasinājumus:

Atbilde:

6. piemērs

Ir dota funkcija y=x 2 cos3x. Atrodiet trešās kārtas atvasinājumu.

Ļaujiet u = cos3x , v = x 2 . Pēc tam saskaņā ar Leibnica formulu mēs atrodam:

Šīs izteiksmes atvasinājumi ir:

(cos3x)′=-3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Tāpēc dotās funkcijas trešais atvasinājums ir

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

7. piemērs

Atrodiet atvasinājumu n - kārtējā funkcija y=x 2 cosx.

Mēs izmantojam Leibnica formulu, iestatījumuu=cosx, v=x 2 . Tad

Atlikušie sērijas nosacījumi ir vienādi ar nulli, kopš(x2)(i)=0, ja i>2.

Atvasinājums n - kārtas kosinusa funkcija:

Tāpēc mūsu funkcijas atvasinājums ir

SECINĀJUMS

Skolā tiek pētītas un tiek izmantotas tā saucamās saīsinātās reizināšanas formulas: divu izteiksmju summas un starpības kvadrāti un kubi un formulas kvadrātu starpības, divu izteiksmju kubu summas un starpības faktorēšanai. Šo formulu vispārinājums ir formula, ko sauc par Ņūtona binominālo formulu, un formulas pakāpju summas un starpības faktorēšanai. Šīs formulas bieži izmanto dažādu uzdevumu risināšanā: dalāmības pierādīšanā, daļskaitļu samazināšanā, aptuvenos aprēķinos. Tiek aplūkotas interesantas Paskāla trijstūra īpašības, kas ir cieši saistītas ar Ņūtona binomiālu.

Darbā sistematizēta informācija par tēmu, sniegti uzdevumu piemēri Ņūtona binoma izmantošanai un formulas grādu summai un starpībai. Darbu var izmantot matemātiskā pulciņa darbā, kā arī priekš pašmācība tiem, kam interesē matemātika.

IZMANTOTO AVOTU SARAKSTS

1. Vilenkin N. Ya. Kombinatorika. - red. "Zinātne". - M., 1969. gads

2. Nikoļskis S.M., Potapovs M.K., Rešetņikovs N.N., Ševkins A.V. Algebra un matemātiskās analīzes sākums. 10. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai organizācijas pamata un augstākais līmenis - M.: Izglītība, 2014. - 431 lpp.

3. Problēmu risināšana statistikā, kombinatorikā un varbūtību teorijā. 7-9 šūnas / autors - sastādītājs V.N. Studenetskaja. - red. 2., labots, - Volgograda: Skolotājs, 2009

4. Savuškina I.A., Khugajevs K.D., Tiškins S.B. Augstāku pakāpju algebriskie vienādojumi / Rīku komplekts starpaugstskolu sagatavošanas nodaļas studentiem. - Sanktpēterburga, 2001. gads.

5. Šarigins I.F. Matemātikas izvēles kurss: Problēmu risināšana. Apmācība 10 šūnām. vidusskola. - M.: Apgaismība, 1989. gads.

6.Zinātne un dzīve, Ņūtona binoms un Paskāla trīsstūris[Elektroniskais resurss]. - Piekļuves režīms: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Augstāku pasūtījumu atvasinājumi

Šajā nodarbībā mēs iemācīsimies atrast augstākas kārtas atvasinājumus, kā arī uzrakstīt “n-tā” atvasinājuma vispārīgo formulu. Turklāt tiks apsvērta Leibnica formula šādam atvasinājumam un, pēc populāra pieprasījuma, augstākas kārtas atvasinājumi netiešā funkcija. Es iesaku nekavējoties veikt mini testu:

Šeit ir funkcija: un šeit ir tā pirmais atvasinājums:

Ja jums ir kādas grūtības/pārpratumi saistībā ar šo piemēru, lūdzu, sāciet ar diviem mana kursa pamatrakstiem: Kā atrast atvasinājumu? un Sarežģītas funkcijas atvasinājums. Pēc elementāru atvasinājumu apguves iesaku izlasīt nodarbību Vienkāršākās problēmas ar atvasinājumu, ar ko mēs jo īpaši esam nodarbojušies otrais atvasinājums.

Nav grūti pat uzminēt, ka otrais atvasinājums ir 1. atvasinājums:

Principā otrs atvasinājums jau tiek uzskatīts par augstākas kārtas atvasinājumu.

Līdzīgi: trešais atvasinājums ir 2. atvasinājuma atvasinājums:

Ceturtais atvasinājums ir trešā atvasinājuma atvasinājums:

Piektais atvasinājums: , un ir acīmredzams, ka visi augstākas kārtas atvasinājumi arī būs vienādi ar nulli:

Papildus romiešu numerācijai praksē bieži tiek izmantoti šādi apzīmējumi:
, savukārt “n-tās” kārtas atvasinājums tiek apzīmēts ar . Šajā gadījumā augšindeksa rādītājs ir jāiekļauj iekavās.- lai atšķirtu atvasinājumu no "y" pakāpē.

Dažreiz ir šāds ieraksts: - attiecīgi trešais, ceturtais, piektais, ..., "n-tais" atvasinājumi.

Uz priekšu bez bailēm un šaubām:

1. piemērs

Dota funkcija. Atrast.

Risinājums: ko tu saki... - uz priekšu par ceturto atvasinājumu :)

Vairs nav pieņemts likt četrus sitienus, tāpēc mēs pārejam pie skaitliskiem rādītājiem:

Atbilde:

Labi, tagad padomāsim par šo jautājumu: ko darīt, ja saskaņā ar nosacījumu ir jāatrod nevis 4., bet, piemēram, 20. atvasinājums? Ja par atvasinājumu no 3-4-5 (maksimums, 6.-7.) rīkojums, risinājums tiek sastādīts diezgan ātri, tad mēs "tiksim" pie augstāku pasūtījumu atvasinājumiem, ak, cik ne drīz. Nepierakstiet, patiesībā, 20 rindiņas! Šādā situācijā ir jāanalizē vairāki atrastie atvasinājumi, jāredz modelis un jāsastāda “n-tā” atvasinājuma formula. Tātad piemērā Nr. 1 ir viegli saprast, ka ar katru nākamo diferenciāciju pirms eksponenta "izlēks" papildu "trīskāršs", un jebkurā solī "trīskārša" pakāpe ir vienāda ar atvasinājums, tāpēc:

Kur ir patvaļīgs naturāls skaitlis.

Un patiešām, ja , tad tiek iegūts tieši 1. atvasinājums: , ja - tad 2.: utt. Tādējādi divdesmitais atvasinājums tiek noteikts uzreiz: - un nekādas "kilometru lapas"!

Iesildāmies paši:

2. piemērs

Atrodiet funkcijas. Uzrakstiet pasūtījuma atvasinājumu

Risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Pēc uzmundrinošas iesildīšanās, apskatīsim vairāk sarežģīti piemēri, kurā izstrādāsim augstāk minēto risinājuma algoritmu. Tiem, kas ir izlasījuši nodarbību Secības ierobežojums, tas būs nedaudz vieglāk:

3. piemērs

Atrodiet funkciju.

Risinājums: lai noskaidrotu situāciju, mēs atrodam vairākus atvasinājumus:

Mēs nesteidzamies reizināt iegūtos skaitļus! ;-)


Varbūt pietiek. ... Es pat nedaudz pārcentos.

Nākamajā solī vislabāk ir uzrakstīt "n-tā" atvasinājuma formulu (tiklīdz nosacījums to neprasa, tad var iztikt ar melnrakstu). Lai to izdarītu, mēs aplūkojam iegūtos rezultātus un identificējam modeļus, ar kuriem tiek iegūts katrs nākamais atvasinājums.

Pirmkārt, viņi parakstās. Interleaving nodrošina "zibspuldze", un tā kā pirmais atvasinājums ir pozitīvs, vispārīgajā formulā tiks ievadīts šāds faktors: . Derēs līdzvērtīgs variants, bet personīgi man kā optimistam patīk plus zīme =)

Otrkārt, skaitītājā "vējš" faktoriāls, un tas “atpaliek” no atvasinājuma numura par vienu vienību:

Un, treškārt, skaitītājā aug “divu” jauda, ​​kas ir vienāda ar atvasinājuma skaitli. To pašu var teikt par saucēja pakāpi. Visbeidzot:

Piemēram, verifikācijas nolūkos aizstāsim dažas vērtības "en" un:

Lieliski, tagad kļūdīties ir vienkārši grēks:

Atbilde:

Vienkāršāka funkcija priekš neatkarīgs risinājums:

4. piemērs

Atrodiet funkcijas.

Un vēl sarežģītāka problēma:

5. piemērs

Atrodiet funkcijas.

Atkārtosim procedūru vēl vienu reizi:

1) Vispirms atrodam vairākus atvasinājumus. Trīs vai četri parasti ir pietiekami, lai noķertu modeļus.

2) Tad es ļoti iesaku apkopot (vismaz uzmetumā)"n-tais" atvasinājums - tiek garantēta aizsardzība pret kļūdām. Bet var iztikt bez, t.i. prātīgi novērtējiet un nekavējoties pierakstiet, piemēram, divdesmito vai astoto atvasinājumu. Turklāt daži cilvēki parasti spēj mutiski atrisināt izskatāmās problēmas. Tomēr jāatceras, ka "ātrās" metodes ir apgrūtinošas, un labāk ir spēlēt droši.

3) Pēdējā posmā mēs pārbaudām "n-to" atvasinājumu - mēs ņemam vērtību pāri "en" (labāk nekā blakus esošās) un veicam aizstāšanu. Un vēl uzticamāk ir pārbaudīt visus agrāk atrastos atvasinājumus. Tad mēs aizstājam ar vēlamo vērtību, piemēram, vai, un uzmanīgi izķemmējam rezultātu.

Īss 4. un 5. piemēra atrisinājums nodarbības beigās.

Dažos uzdevumos, lai izvairītos no problēmām, funkcijai ir jāveic neliela maģija:

6. piemērs

Risinājums: Es nemaz nevēlos atšķirt piedāvāto funkciju, jo tā izrādīsies “slikta” daļa, kas ļoti apgrūtinās turpmāko atvasinājumu atrašanu.

Šajā sakarā ir ieteicams veikt iepriekšējas transformācijas: mēs izmantojam kvadrātu atšķirības formula un logaritma īpašība :

Pavisam cita lieta:

Un vecie draugi:

Es domāju, ka viss tiek apskatīts. Ņemiet vērā, ka 2. daļa ir parakstīta, bet 1. nav. Mēs izveidojam pasūtījuma atvasinājumu:

Kontrole:

Skaistuma labad mēs izņemam faktoriālu no iekavām:

Atbilde:

Interesants uzdevums neatkarīgam risinājumam:

7. piemērs

Uzrakstiet funkcijas secības atvasinājuma formulu

Un tagad par nesatricināmo savstarpējo atbildību, kuru apskaust pat itāļu mafija:

8. piemērs

Dota funkcija. Atrast

Astoņpadsmitais atvasinājums punktā . Vienkārši.

Risinājums: pirmkārt, acīmredzot, jums ir jāatrod . Iet:

Viņi sāka no sinusa un nonāca pie sinusa. Ir skaidrs, ka ar tālāku diferenciāciju šis cikls turpināsies līdz bezgalībai, un rodas šāds jautājums: kā vislabāk “nokļūt” līdz astoņpadsmitajam atvasinājumam?

“Amatieru” metode: mēs ātri ierakstām nākamo atvasinājumu numurus kolonnas labajā pusē:

Pa šo ceļu:

Bet tas darbojas, ja atvasinājuma secība nav pārāk liela. Ja jāatrod, teiksim, simtais atvasinājums, tad jāizmanto dalāmība ar 4. Simts dalās ar 4 bez atlikuma, un ir viegli redzēt, ka šādi skaitļi atrodas apakšējā rindā, tāpēc: .

Starp citu, no līdzīgiem apsvērumiem var noteikt arī 18. atvasinājumu:
Otrajā rindā ir skaitļi, kas dalās ar 4, bet atlikums ir 2.

Vēl viena, akadēmiskāka metode ir balstīta uz sinusa periodiskums un samazināšanas formulas. Mēs izmantojam gatavo formulu "nth" sinusa atvasinājumu , kurā vienkārši tiek aizstāts vajadzīgais numurs. Piemēram:
(samazināšanas formula ) ;
(samazināšanas formula )

Mūsu gadījumā:

(1) Tā kā sinuss ir periodiska funkcija ar punktu, tad argumentu var nesāpīgi “atskrūvēt” 4 periodus (t.i.).

Divu funkciju reizinājuma secības atvasinājumu var atrast pēc formulas:

It īpaši:

Jums nekas nav īpaši jāatceras, jo jo vairāk formulu jūs zināt, jo mazāk jūs saprotat. Daudz labāk zināt Ņūtona binomiāls, jo Leibnica formula viņam ir ļoti, ļoti līdzīga. Nu tie laimīgie, kuri iegūst 7. vai augstākas kārtas atvasinājumu (kas tiešām ir maz ticams) būs spiests to darīt. Tomēr, kad pienāks laiks kombinatorika- vēl vajag =)

Atradīsim funkcijas trešo atvasinājumu. Mēs izmantojam Leibnica formulu:

Šajā gadījumā: . Atvasinājumi ir viegli noklikšķināti mutiski:

Tagad mēs rūpīgi un UZMANĪGI veicam aizstāšanu un vienkāršojam rezultātu:

Atbilde:

Līdzīgs uzdevums neatkarīgam risinājumam:

11. piemērs

Atrodiet funkcijas

Ja iepriekšējā piemērā risinājums "uz pieres" vēl konkurēja ar Leibnica formulu, tad šeit tas jau būs patiešām nepatīkami. Un vēl nepatīkamāk - augstākas atvasinājuma kārtas gadījumā:

12. piemērs

Atrodiet norādītā pasūtījuma atvasinājumu

Risinājums: pirmā un būtiskā piebilde - tā izlemt, iespējams, nevajag =) =)

Pierakstīsim funkcijas un atradīsim to atvasinājumus līdz 5.kārtai ieskaitot. Es pieņemu, ka labās kolonnas atvasinājumi jums ir kļuvuši mutiski:

Kreisajā kolonnā “dzīvie” atvasinājumi ātri “beidzās”, un tas ir ļoti labi - Leibnica formulā trīs termini tiks nullēti:

Es vēlreiz pakavēšos pie dilemmas, kas parādījās rakstā par kompleksi atvasinājumi: lai vienkāršotu rezultātu? Principā var atstāt tā - skolotājam būs vēl vieglāk pārbaudīt. Bet viņam var būt nepieciešams pieņemt lēmumu. No otras puses, vienkāršošana pēc savas iniciatīvas ir saistīta ar algebriskām kļūdām. Tomēr mums ir atbilde, kas iegūta "pirmajā" veidā =) (skat. saiti sākumā) un es ceru, ka tas ir pareizi:

Lieliski, viss izdevās.

Atbilde:

Laimīgs uzdevums pašrisināšanai:

13. piemērs

Funkcijai:
a) atrast ar tiešu diferenciāciju;
b) atrast pēc Leibnica formulas;
c) aprēķināt.

Nē, es nemaz neesmu sadists - punkts "a" šeit ir diezgan vienkāršs =)

Bet ja nopietni, tad “tiešajam” risinājumam ar secīgu diferenciāciju ir arī “tiesības uz dzīvību” – dažos gadījumos tā sarežģītība ir salīdzināma ar Leibnica formulas piemērošanas sarežģītību. Izmantojiet, kā uzskatāt par vajadzīgu — tas, visticamāk, nebūs iemesls, lai neskaitītu uzdevumu.

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Lai paceltu pēdējo rindkopu, jums tas ir jāspēj atšķirt implicītās funkcijas:

Netiešo funkciju augstākas kārtas atvasinājumi

Daudzi no mums ir pavadījuši ilgas stundas, dienas un nedēļas, mācoties aprindās, parabola, hiperbola– un reizēm tas pat šķita īsts sods. Tāpēc atriebsimies un pareizi nošķirsim tos!

Sāksim ar "skolas" parabolu tajā kanoniskā pozīcija:

14. piemērs

Tiek dots vienādojums. Atrast.

Risinājums: pirmais solis ir pazīstams:

Fakts, ka funkcija un tās atvasinājums ir izteikti netieši, nemaina lietas būtību, otrs atvasinājums ir 1. atvasinājuma atvasinājums:

Tomēr ir spēles noteikumi: parasti tiek izteikti 2. un augstākas kārtas atvasinājumi tikai caur "x" un "y". Tāpēc mēs aizstājam ar iegūto 2. atvasinājumu:

Trešais atvasinājums ir otrā atvasinājuma atvasinājums:

Līdzīgi aizstāsim:

Atbilde:

"Skolas" hiperbola iekšā kanoniskā pozīcija- priekš patstāvīgs darbs:

15. piemērs

Tiek dots vienādojums. Atrast.

Atkārtoju, ka 2.atvasinājums un rezultāts jāizsaka tikai caur "x" / "y"!

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Pēc bērnu palaidnībām apskatīsim vācu pornogrāfiju @ fia, apskatīsim vairāk pieaugušo piemēru, no kuriem uzzinām vēl vienu svarīgu risinājumu:

16. piemērs

Elipse pats.

Risinājums: atrodiet 1. atvasinājumu:

Un tagad apstāsimies un analizēsim nākamo brīdi: tagad mums ir jānošķir daļa, kas nebūt nav iepriecinoši. Šajā gadījumā, protams, tas ir vienkārši, bet reālās dzīves problēmās ir tikai pāris šādu dāvanu. Vai ir kāds veids, kā izvairīties no apgrūtinošā atvasinājuma atrašanas? Pastāv! Mēs ņemam vienādojumu un izmantojam to pašu paņēmienu, kā atrodot 1. atvasinājumu - mēs “pakaram” sitienus abās daļās:

Otrais atvasinājums ir jāizsaka tikai caur un , tāpēc tagad (tieši tagad) ir ērti atbrīvoties no 1. atvasinājuma. Lai to izdarītu, mēs aizstājam ar iegūto vienādojumu:

Lai izvairītos no nevajadzīgām tehniskām grūtībām, mēs abas daļas reizinām ar:

Un tikai pēdējā posmā mēs sastādam daļu:

Tagad mēs skatāmies uz sākotnējo vienādojumu un pamanām, ka iegūto rezultātu var vienkāršot:

Atbilde:

Kā kādā brīdī atrast 2.atvasinājuma vērtību (kas, protams, pieder elipsei), piemēram, punktā ? Ļoti viegli! Šis motīvs jau ir sastapts nodarbībā par normāls vienādojums: 2. atvasinājuma izteiksmē ir jāaizstāj :

Protams, visos trīs gadījumos var iegūt skaidri norādītas funkcijas un tās atšķirt, bet pēc tam garīgi sagatavoties darbam ar divām funkcijām, kas satur saknes. Manuprāt, risinājumu ir ērtāk veikt "netiešā veidā".

Pēdējais piemērs pašrisinājumam:

17. piemērs

Atrodiet netiešo funkciju

Leibnica formula priekš n-tais aprēķins divu funkciju reizinājuma atvasinājums. Tās pierādījums tiek sniegts divos veidos. Aplūkots n-tās kārtas atvasinājuma aprēķināšanas piemērs.

Saturs

Skatīt arī: Divu funkciju reizinājuma atvasinājums

Leibnica formula

Izmantojot Leibnica formulu, jūs varat aprēķināt divu funkciju reizinājuma n-to atvasinājumu. Tas izskatās šādi:
(1) ,
kur
ir binomiālie koeficienti.

Binoma koeficienti ir binoma izplešanās koeficienti pakāpēs un:
.
Arī skaitlis ir kombināciju skaits no n līdz k .

Leibnica formulas pierādījums

Mēs izmantojam formulu divu funkciju reizinājuma atvasināšanai:
(2) .
Pārrakstīsim formulu (2) šādā formā:
.
Tas ir, mēs uzskatām, ka viena funkcija ir atkarīga no mainīgā x, bet otra ir atkarīga no y mainīgā. Aprēķina beigās mēs pieņemam . Tad iepriekšējo formulu var uzrakstīt šādi:
(3) .
Tā kā atvasinājums ir vienāds ar terminu summu un katrs vārds ir divu funkciju reizinājums, tad, lai aprēķinātu augstākas kārtas atvasinājumus, varat konsekventi piemērot noteikumu (3).

Tad n-tās kārtas atvasinājumam mums ir:

.
Ņemot vērā to un , mēs iegūstam Leibnica formulu:
(1) .

Pierādīšana ar indukciju

Mēs piedāvājam Leibnica formulas pierādījumu ar matemātiskās indukcijas metodi.

Pārrakstīsim Leibnica formulu:
(4) .
Ja n = 1, mums ir:
.
Šī ir divu funkciju reizinājuma atvasinājuma formula. Viņa ir godīga.

Pieņemsim, ka formula (4) ir derīga n-tās kārtas atvasinājumam. Pierādīsim, ka tas ir derīgs atvasinājumam n + 1 -tais pasūtījums.

Atšķirt (4):
;



.
Tātad mēs atradām:
(5) .

Aizstājiet (5) punktu un ņemiet vērā, ka:

.
Tas parāda, ka formulai (4) ir tāda pati forma atvasinājumam n + 1 -tais pasūtījums.

Tātad formula (4) ir derīga n = 1 . No pieņēmuma, ka tas ir patiess kādam skaitlim n = m, izriet, ka tas ir patiess n = m + 1 .
Leibnica formula ir pierādīta.

Piemērs

Aprēķināt funkcijas n-to atvasinājumu
.

Mēs izmantojam Leibnica formulu
(2) .
Mūsu gadījumā
;
.

Saskaņā ar atvasinājumu tabulu mums ir:
.
Mēs izmantojam trigonometrisko funkciju īpašības:
.
Tad
.
Tas parāda, ka sinusa funkcijas diferenciācija noved pie tās nobīdes par . Tad
.

Mēs atrodam funkcijas atvasinājumus.
;
;
;
, .

Tā kā , tikai pirmie trīs Leibnica formulas termini nav nulle. Binomiālo koeficientu atrašana.
;
.

Saskaņā ar Leibnica formulu mums ir:

.

Skatīt arī: