ข้อความของงานวางโดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

"ฉันด้วย ทวินามของนิวตัน!»

จาก The Master และ Margarita

“รูปสามเหลี่ยมของ Pascal นั้นเรียบง่ายมากจนแม้แต่เด็กอายุ 10 ขวบก็ยังเขียนได้ ในเวลาเดียวกัน มันซ่อนสมบัติล้ำค่าที่ไม่รู้จักเหนื่อยและเชื่อมโยงแง่มุมต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันซึ่งในแวบแรกไม่มีอะไรเหมือนกัน คุณสมบัติที่ผิดปกติดังกล่าวทำให้เราสามารถพิจารณาว่าสามเหลี่ยมของ Pascal เป็นหนึ่งในรูปแบบที่หรูหราที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด

มาร์ติน การ์ดเนอร์.

วัตถุประสงค์:สรุปสูตรคูณตัวย่อแสดงการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา

งาน:

1) ศึกษาและจัดระบบข้อมูลในประเด็นนี้

2) วิเคราะห์ตัวอย่างโจทย์การใช้ทวินามของนิวตันและสูตรหาผลรวมและผลต่างองศา

วัตถุวิจัย:ทวินามของนิวตัน สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างขององศา

วิธีการวิจัย:

การทำงานกับวรรณคดีด้านการศึกษาและวิทยาศาสตร์ที่เป็นที่นิยม แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต

การคำนวณ การเปรียบเทียบ การวิเคราะห์ การเปรียบเทียบ

ความเกี่ยวข้องบุคคลมักจะต้องจัดการกับปัญหาซึ่งจำเป็นต้องนับจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อจัดเรียงวัตถุบางอย่างหรือจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อดำเนินการบางอย่าง เส้นทางหรือตัวเลือกต่าง ๆ ที่บุคคลต้องเลือกรวมกันเป็นชุดค่าผสมที่หลากหลาย และสาขาคณิตศาสตร์ทั้งหมด ที่เรียกว่า combinatorics กำลังยุ่งอยู่กับการหาคำตอบของคำถาม: มีชุดค่าผสมจำนวนเท่าใดในกรณีนี้หรือกรณีนั้น

ตัวแทนของความเชี่ยวชาญพิเศษจำนวนมากต้องรับมือกับปริมาณสารผสม: นักวิทยาศาสตร์-นักเคมี นักชีววิทยา นักออกแบบ ผู้มอบหมายงาน ฯลฯ ความสนใจที่เพิ่มขึ้นใน combinatorics ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาเป็นผลมาจากการพัฒนาอย่างรวดเร็วของไซเบอร์เนติกส์และเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

บทนำ

เมื่อพวกเขาต้องการเน้นว่าคู่สนทนาพูดเกินจริงถึงความซับซ้อนของงานที่เขาเผชิญ พวกเขาพูดว่า: "ฉันต้องการทวินามของนิวตันด้วย!" สมมติว่านี่คือทวินามของนิวตัน มันยาก แต่คุณมีปัญหาอะไร! แม้แต่คนที่มีความสนใจไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ก็เคยได้ยินเกี่ยวกับทวินามของนิวตัน

คำว่า "ทวินาม" หมายถึงทวินามเช่น ผลรวมของสองเทอม จาก หลักสูตรโรงเรียนเรียกว่าสูตรคูณแบบย่อที่เรียกว่า:

( เอ+ ข) 2 = 2 + 2ab + ข 2 , (a+b) 3 = 3 +3a 2 b+3ab 2 +ข 3 .

ลักษณะทั่วไปของสูตรเหล่านี้คือสูตรที่เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตัน สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบความแตกต่างของกำลังสอง ผลรวมและความแตกต่างของลูกบาศก์ก็ใช้ที่โรงเรียนเช่นกัน พวกเขามีภาพรวมสำหรับองศาอื่น ๆ หรือไม่? ใช่ มีสูตรดังกล่าว ซึ่งมักใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ ได้แก่ การพิสูจน์การหาร การลดเศษส่วน การคำนวณโดยประมาณ

การศึกษาสูตรทั่วไปพัฒนาความคิดเชิงนิรนัยทางคณิตศาสตร์และความสามารถทางจิตทั่วไป

ส่วนที่ 1 สูตรทวินามของนิวตัน

ชุดค่าผสมและคุณสมบัติ

ให้ X เป็นเซตที่ประกอบด้วย n องค์ประกอบ เซตย่อย Y ของเซต X ที่มีองค์ประกอบ k เรียกว่าการรวมกันขององค์ประกอบ k จาก n และ k ≤ n

จำนวนชุดค่าผสมที่แตกต่างกันขององค์ประกอบ k จาก n จะแสดง C n k หนึ่งในสูตรที่สำคัญที่สุดของ combinatorics คือสูตรต่อไปนี้สำหรับหมายเลข C n k:

สามารถเขียนตามตัวย่อที่ชัดเจนได้ดังนี้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

สิ่งนี้ค่อนข้างสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าในชุด X มีองค์ประกอบ 0 เพียงชุดเดียว - ชุดย่อยว่าง

ตัวเลข C n k มีคุณสมบัติเด่นหลายประการ

สูตร С n k = С n - k n ถูกต้อง (3)

ความหมายของสูตร (3) คือมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดของชุดย่อยสมาชิก k ทั้งหมดจาก X และชุดย่อยของสมาชิกทั้งหมด (n - k) จาก X: เพื่อสร้างการติดต่อนี้ มันก็เพียงพอแล้วสำหรับเซตย่อย k-member ของ Y ที่จับคู่ส่วนประกอบในชุด X

สูตร С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n ถูกต้อง (4)

ผลรวมทางด้านซ้ายแสดงจำนวนของชุดย่อยทั้งหมดของชุด X (C 0 n คือจำนวนชุดย่อย 0 สมาชิก C 1 n คือจำนวนชุดย่อยของสมาชิกเดี่ยว ฯลฯ)

สำหรับ k ใด ๆ 1≤ k≤ n ความเท่าเทียมกัน

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

ความเท่าเทียมกันนี้หาได้ง่ายโดยใช้สูตร (1) อย่างแท้จริง,

1.2. ที่มาของสูตรทวินามของนิวตัน

พิจารณาพลังของทวินาม เป็น +ข .

n = 0, (a +ข ) 0 = 1

n = 1, (a +ข ) 1 = 1a+1ข

n = 2(+ข ) 2 = 1a 2 + 2aข +1 ข 2

n = 3(+ข ) 3 = 1 เป็ 3 + 3a 2 ข + 3aข 2 +1 ข 3

n = 4(+ข ) 4 = 1a 4 + 4a 3 ข + 6a 2 ข 2 +4aข 3 +1 ข 4

n=5(+ข ) 5 = 1a 5 + 5a 4 ข + 10a 3 ข 2 + 10a 2 ข 3 + 5aข 4 + 1 ข 5

สังเกตระเบียบต่อไปนี้:

จำนวนพจน์ของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์มากกว่าหนึ่งเลขชี้กำลังของทวินาม

เลขชี้กำลังของเทอมแรกลดลงจาก n เป็น 0, เลขชี้กำลังของเทอมที่สองเพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น n;

องศาของโมโนเมียลทั้งหมดเท่ากับองศาของทวินามในเงื่อนไข

โมโนเมียลแต่ละตัวเป็นผลคูณของนิพจน์ที่หนึ่งและสองใน องศาต่างๆและจำนวนหนึ่ง - สัมประสิทธิ์ทวินาม

ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามเท่ากันจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการขยายตัวเท่ากัน

ลักษณะทั่วไปของสูตรเหล่านี้คือสูตรต่อไปนี้ เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตัน:

(เอ + ข ) น = ค 0 น เอ น ข 0 + ค 1 น เอ น -1 ข + ค 2 น เอ น -2 ข 2 + ... + ค น -1 น อะบี น -1 + ค น น เอ 0 ข น . (6)

ในสูตรนี้ นเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้

เราได้รับสูตร (6) ก่อนอื่นเรามาเขียน:

(เอ + ข ) น = (เอ + ข )(เอ + ข ) ... (เอ + ข ), (7)

โดยที่จำนวนวงเล็บที่จะคูณคือ น. จากกฎปกติของการคูณผลรวมด้วยผลรวม นิพจน์ (7) เท่ากับผลรวมของผลคูณที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งสามารถประกอบได้ดังนี้: เทอมใด ๆ ในผลรวมแรก a + bคูณด้วยเทอมใดๆ ของผลรวมที่สอง a+bในระยะใด ๆ ของผลรวมที่สาม ฯลฯ

จากที่กล่าวไว้เป็นที่ชัดเจนว่าคำในนิพจน์สำหรับ (เอ + ข ) นจับคู่ (หนึ่งต่อหนึ่ง) สตริงที่มีความยาว n ประกอบด้วยตัวอักษร ก และ ข.ในบรรดาข้อกำหนดนั้นจะมีคำศัพท์ที่คล้ายกัน เห็นได้ชัดว่าสมาชิกดังกล่าวสอดคล้องกับสตริงที่มีจำนวนตัวอักษรเท่ากัน เอ. แต่จำนวนบรรทัดที่มี k คูณตัวอักษร เอ, เท่ากับ C n k . ดังนั้น ผลรวมของพจน์ทั้งหมดที่มีตัวอักษร a ที่มีตัวประกอบเท่ากับ k คูณ เท่ากับ С n k เอ น - k ข k . เนื่องจาก k สามารถหาค่า 0, 1, 2, ..., n-1, n, สูตร (6) ได้จากการให้เหตุผลของเรา โปรดทราบว่า (6) สามารถเขียนให้สั้นลงได้: (8)

แม้ว่าสูตร (6) จะเรียกว่าชื่อของนิวตัน แต่ในความเป็นจริงมันถูกค้นพบก่อนนิวตัน (เช่น Pascal รู้) ข้อดีของนิวตันอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าเขาพบลักษณะทั่วไปของสูตรนี้สำหรับกรณีของเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม มันคือ I. Newton ในปี 1664-1665 ได้รับสูตรที่แสดงดีกรีของทวินามสำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนและค่าลบตามอำเภอใจ

ตัวเลข C 0 n , C 1 n , ... , C n n รวมอยู่ในสูตร (6) มักจะเรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินามซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

จากสูตร (6) เราสามารถรับคุณสมบัติของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ได้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สมมติว่า เอ=1, b = 1, เราได้รับ:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

เหล่านั้น. สูตร (4). ถ้าเราใส่ เอ= 1, b = -1 จากนั้นเราจะได้:

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

หรือ С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

ซึ่งหมายความว่าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพจน์คู่ของการขยายเท่ากับผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพจน์คี่ของการขยาย แต่ละตัวมีค่าเท่ากับ 2 n -1 .

ค่าสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขที่เท่ากันจากจุดสิ้นสุดของการขยายจะเท่ากัน คุณสมบัตินี้ตามมาจากความสัมพันธ์: С n k = С n n - k

กรณีพิเศษที่น่าสนใจ

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

หรือสั้นกว่า (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. ทฤษฎีบทพหุนาม

ทฤษฎีบท.

การพิสูจน์.

เพื่อให้ได้โมโนเมียลหลังจากเปิดวงเล็บ คุณต้องเลือกวงเล็บที่ยึด วงเล็บที่ใช้ ฯลฯ และวงเล็บที่นำมา สัมประสิทธิ์ของโมโนเมียลนี้หลังจากลดพจน์ที่คล้ายกันจะเท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถเลือกได้ ขั้นตอนแรกของลำดับตัวเลือกสามารถทำได้หลายวิธี ขั้นตอนที่สอง - , ขั้นตอนที่สาม - ฯลฯ , ขั้นตอนที่ - - ในลักษณะต่างๆ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการเท่ากับผลคูณ

มาตรา 2 อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

แนวคิดของอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ให้ฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้ในบางช่วงเวลา ถ้าอย่างนั้นอนุพันธ์ของมันโดยทั่วไปแล้วขึ้นอยู่กับ Xกล่าวคือเป็นหน้าที่ของ X. ดังนั้น ในแง่นี้ เราสามารถตั้งคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของอนุพันธ์ได้อีกครั้ง

คำนิยาม . อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งเรียกว่า อนุพันธ์ของอันดับสองหรืออนุพันธ์อันดับสองและแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือกล่าวคือ

คำนิยาม . อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับสองเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสามหรืออนุพันธ์อันดับสามและแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือ

คำนิยาม . อนุพันธ์น คำสั่งฟังก์ชั่น เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 1 ของอนุพันธ์ (น -1) - ลำดับที่ของฟังก์ชันนี้และแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือ:

คำนิยาม . อนุพันธ์ของคำสั่งที่สูงกว่าตัวแรกเรียกว่า อนุพันธ์ที่สูงขึ้น

ความคิดเห็น. ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาสูตรได้ น- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก

หากฟังก์ชันถูกกำหนดแบบพาราเมตริกด้วยสมการ ในการหาอนุพันธ์อันดับสอง จำเป็นต้องแยกความแตกต่างของนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับ 1 ของฟังก์ชันนั้น ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนตัวแปรอิสระ

ตั้งแต่นั้นมา

และพิจารณาว่า

เราเข้าใจแล้ว นั่นคือ

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาอนุพันธ์อันดับสามได้

ความแตกต่างของผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหาร

เนื่องจากดิฟเฟอเรนเชียลได้มาจากอนุพันธ์โดยการคูณมันด้วยดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระ ดังนั้น เมื่อรู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน เช่นเดียวกับกฎในการหาอนุพันธ์ เราจึงสามารถใช้กฎที่คล้ายกันในการค้นหาดิฟเฟอเรนเชียลได้

1 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลของค่าคงที่คือศูนย์.

2 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลจำนวนจำกัด เท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเหล่านี้ .

3 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลสองฟังก์ชัน เท่ากับผลรวมของผลคูณของฟังก์ชันที่หนึ่งและค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันที่สองและฟังก์ชันที่สอง และค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันแรก .

ผลที่ตามมา. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียลได้

2.3. ฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก ความแตกต่างของฟังก์ชัน

คำนิยาม . กล่าวได้ว่าฟังก์ชันถูกกำหนดแบบพาราเมตริกถ้าตัวแปรทั้งสอง X และ y ถูกกำหนดแยกกันเป็นฟังก์ชันค่าเดียวของตัวแปรเสริมเดียวกัน - พารามิเตอร์t :

ที่ไหนt เปลี่ยนแปลงภายใน.

ความคิดเห็น . เรานำเสนอสมการพาราเมตริกของวงกลมและวงรี

ก) วงกลมมีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและรัศมี rมีสมการพาราเมตริก:

b) มาเขียนสมการพาราเมตริกสำหรับวงรีกัน:

โดยยกเว้นพารามิเตอร์ tจากสมการพาราเมทริกของเส้นที่พิจารณา เราสามารถไปถึงสมการบัญญัติได้

ทฤษฎีบท . ถ้าฟังก์ชัน y จากการโต้แย้ง x ถูกกำหนดแบบพาราเมตริกโดยสมการ โดยที่ และหาอนุพันธ์ได้เมื่อเทียบกับt หน้าที่แล้ว.

2.4. สูตรไลบนิซ

เพื่อหาอนุพันธ์ นลำดับของผลิตภัณฑ์สองหน้าที่ สูตรไลบนิซมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่ง

อนุญาต ยูและ วี- ฟังก์ชั่นบางอย่างจากตัวแปร Xมีอนุพันธ์ของคำสั่งใด ๆ และ y = ยูวี. ด่วน น- อนุพันธ์ลำดับที่ผ่านอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ยูและ วี .

เรามีอย่างต่อเนื่อง

เป็นเรื่องง่ายที่จะสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองและสามกับการขยายตัวของทวินามของนิวตันในกำลังสองและสามตามลำดับ แต่แทนที่จะเป็นเลขชี้กำลัง มีตัวเลขที่กำหนดลำดับของอนุพันธ์ และ ฟังก์ชั่นตัวเองถือได้ว่าเป็น "อนุพันธ์อันดับศูนย์" จากสิ่งนี้ เราได้รับสูตร Leibniz:

สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ส่วนที่ 3 การประยุกต์ใช้สูตร LEIBNIZ

ในการคำนวณอนุพันธ์ของคำสั่งใดๆ จากผลคูณของสองฟังก์ชัน โดยข้ามการใช้สูตรตามลำดับเพื่อคำนวณอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน เราใช้ สูตรไลบนิซ.

ใช้สูตรนี้ พิจารณาตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์อันดับที่ n ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 1

หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

ตามคำจำกัดความ อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์อันดับหนึ่งของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง กล่าวคือ

ดังนั้นเราจึงหาอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันที่กำหนดตาม กฎความแตกต่างและการใช้ ตารางอนุพันธ์:

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง นี่จะเป็นอนุพันธ์อันดับสองที่ต้องการ:

ตอบ:

ตัวอย่าง 2

หาอนุพันธ์อันดับ th ของฟังก์ชัน

วิธีการแก้.

เราจะหาอนุพันธ์ของอันดับที่หนึ่ง สอง สาม และลำดับอื่นๆ ตามลำดับของฟังก์ชันที่กำหนดอย่างต่อเนื่อง เพื่อสร้างรูปแบบที่สามารถสรุปเป็นอนุพันธ์อันดับที่ -th ได้

เราพบอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเป็น อนุพันธ์ของผลหาร:

ในที่นี้นิพจน์เรียกว่าแฟกทอเรียลของตัวเลข แฟกทอเรียลของจำนวนเท่ากับผลคูณของตัวเลขจากหนึ่งถึงนั่นคือ

อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์อันดับหนึ่งของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง นั่นคือ

อนุพันธ์อันดับสาม:

อนุพันธ์ที่สี่:

สังเกตความสม่ำเสมอ: ตัวเศษประกอบด้วยแฟกทอเรียลของจำนวนที่เท่ากับลำดับของอนุพันธ์ และตัวส่วนมีนิพจน์ในยกกำลังมากกว่าหนึ่งลำดับของอนุพันธ์ นั่นคือ

ตอบ.

ตัวอย่างที่ 3

หาค่าอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

วิธีการแก้.

ตาม ตารางอนุพันธ์อันดับสูงกว่า, เรามี:

ในตัวอย่างนี้ นั่นคือ เราได้รับ

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกันสามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ตามลำดับ

ที่ คะแนนที่กำหนดอนุพันธ์อันดับสามคือ:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

วิธีการแก้.ก่อนอื่น ให้หาอนุพันธ์อันดับแรก:

ในการหาอนุพันธ์อันดับสอง เราแยกความแตกต่างของนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับแรกอีกครั้ง:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่า

เนื่องจากฟังก์ชันที่กำหนดเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน ขอแนะนำให้ใช้สูตรไลบนิซเพื่อค้นหาอนุพันธ์อันดับที่สี่:

เราค้นหาอนุพันธ์ทั้งหมดและคำนวณสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไข

1) คำนวณสัมประสิทธิ์สำหรับเงื่อนไข:

2) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

3) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 6

ฟังก์ชัน y=x 2 cos3x ถูกกำหนด หาอนุพันธ์ของลำดับที่สาม

ให้ u=cos3x , v=x 2 . ตามสูตรของไลบนิซ เราพบว่า:

อนุพันธ์ในนิพจน์นี้คือ:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)'''=0.

ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันที่กำหนดคือ

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

ตัวอย่าง 7

ค้นหาอนุพันธ์น -ฟังก์ชันคำสั่งที่ y=x 2 cosx.

เราใช้สูตร Leibniz การตั้งค่าu=cosx, v=x 2 . แล้ว

พจน์ที่เหลือของอนุกรมนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจาก(x2)(i)=0 สำหรับ i>2

อนุพันธ์ n - ฟังก์ชันโคไซน์ลำดับที่:

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันของเราคือ

บทสรุป

โรงเรียนศึกษาและใช้สูตรคูณแบบย่อที่เรียกว่า: กำลังสองและลูกบาศก์ของผลรวมและผลต่างของนิพจน์สองรายการและสูตรสำหรับการแยกตัวประกอบความแตกต่างของกำลังสอง ผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ของสองนิพจน์ ลักษณะทั่วไปของสูตรเหล่านี้คือสูตรที่เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตันและสูตรสำหรับการแยกตัวประกอบผลรวมและผลต่างของกำลัง สูตรเหล่านี้มักใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ ได้แก่ การพิสูจน์การหาร การลดเศษส่วน การคำนวณโดยประมาณ พิจารณาคุณสมบัติที่น่าสนใจของสามเหลี่ยมปาสกาลซึ่งมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับทวินามของนิวตัน

กระดาษจัดระบบข้อมูลเกี่ยวกับหัวข้อ ให้ตัวอย่างงานสำหรับการใช้ทวินามของนิวตันและสูตรสำหรับผลรวมและความแตกต่างขององศา สามารถใช้ในงานของวงกลมคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับสำหรับ การศึกษาด้วยตนเองผู้ที่สนใจในวิชาคณิตศาสตร์

รายชื่อแหล่งที่ใช้

1. Vilenkin N. Ya. คอมบิเนทอริกส์ - ed. "วิทยาศาสตร์". - ม., 2512

2. Nikolsky S.M. , Potapov M.K. , Reshetnikov N.N. , Shevkin A.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป องค์กรระดับพื้นฐานและขั้นสูง - ม.: การศึกษา, 2014. - 431 น.

3. การแก้ปัญหาทางสถิติ เชิงผสม และทฤษฎีความน่าจะเป็น 7-9 เซลล์ / ผู้แต่ง - คอมไพเลอร์ V.N. สตูเดเนตสกายา - ศ. แก้ไขครั้งที่ 2 - โวลโกกราด: ครู 2552

4. Savushkina I.A. , Khugaev K.D. , Tishkin S.B. สมการพีชคณิตขององศาที่สูงขึ้น / ชุดเครื่องมือสำหรับนักศึกษาภาควิชาเตรียมอุดมศึกษา - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2544

5. Sharygin I.F. หลักสูตรเสริมในวิชาคณิตศาสตร์: การแก้ปัญหา กวดวิชาสำหรับ 10 เซลล์ มัธยม. - ม.: ตรัสรู้, 1989.

6.วิทยาศาสตร์กับชีวิต ทวินามของนิวตัน และ สามเหลี่ยมปาสกาล[ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์]. - โหมดการเข้าถึง: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ในบทนี้ เราจะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์อันดับสูงกว่า รวมทั้งเขียนสูตรทั่วไปสำหรับอนุพันธ์อันดับ "nth" นอกจากนี้ สูตรไลบนิซสำหรับอนุพันธ์ดังกล่าวจะได้รับการพิจารณาและโดยความต้องการที่เป็นที่นิยม อนุพันธ์อันดับสูงกว่าของ ฟังก์ชันโดยปริยาย. ฉันแนะนำให้คุณทำการทดสอบย่อยทันที:

นี่คือฟังก์ชัน: และนี่คืออนุพันธ์อันดับแรก:

ในกรณีที่คุณมีปัญหา/ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับตัวอย่างนี้ โปรดเริ่มต้นด้วยบทความพื้นฐานสองบทความในหลักสูตรของฉัน: จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?และ อนุพันธ์ของฟังก์ชันประสม. หลังจากเชี่ยวชาญอนุพันธ์เบื้องต้นแล้ว ฉันแนะนำให้คุณอ่านบทเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับอนุพันธ์ที่เราได้จัดการโดยเฉพาะกับ อนุพันธ์อันดับสอง.

ไม่ยากแม้แต่จะเดาว่าอนุพันธ์อันดับสองเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 1:

โดยหลักการ อนุพันธ์อันดับสองถือเป็นอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่าอยู่แล้ว

ในทำนองเดียวกัน: อนุพันธ์อันดับสามคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 2:

อนุพันธ์อันดับที่สี่คืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 3:

อนุพันธ์ที่ห้า: และเป็นที่แน่ชัดว่าอนุพันธ์ทั้งหมดของคำสั่งซื้อที่สูงกว่าจะเท่ากับศูนย์ด้วย:

นอกเหนือจากการนับเลขโรมันแล้ว การกำหนดต่อไปนี้มักใช้ในทางปฏิบัติ:
ในขณะที่อนุพันธ์ของคำสั่ง "nth" แสดงโดย . ในกรณีนี้ ดัชนีตัวยกจะต้องอยู่ในวงเล็บ- เพื่อแยกความแตกต่างของอนุพันธ์จาก "y" ในระดับ

บางครั้งมีรายการเช่นนี้: - อนุพันธ์อันดับสาม สี่ ห้า ... อนุพันธ์ "nth" ตามลำดับ

ไปข้างหน้าโดยไม่ต้องกลัวและสงสัย:

ตัวอย่าง 1

รับหน้าที่. หา .

วิธีการแก้: คุณพูดอะไร ... - ส่งต่ออนุพันธ์ที่สี่ :)

ไม่ใช่เรื่องปกติที่จะใส่สี่จังหวะอีกต่อไป ดังนั้นเราจึงไปที่ดัชนีตัวเลข:

ตอบ:

โอเค ทีนี้ลองคิดถึงคำถามนี้กัน: จะทำอย่างไรถ้าตามเงื่อนไขมันจำเป็นต้องหาตัวที่ 4 ไม่ใช่ตัวที่ 4 แต่ยกตัวอย่างเช่นอนุพันธ์อันดับที่ 20? ถ้าสำหรับอนุพันธ์ของ 3-4-5th (สูงสุด 6-7)ลำดับการแก้ปัญหาถูกวาดขึ้นอย่างรวดเร็วจากนั้นเราจะ "รับ" อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นโอ้ไม่เร็ว ๆ นี้ อันที่จริงแล้วอย่าเขียน 20 บรรทัด! ในสถานการณ์เช่นนี้ คุณต้องวิเคราะห์อนุพันธ์ที่พบหลายตัว ดูรูปแบบและเขียนสูตรสำหรับอนุพันธ์อันดับ "nth" ดังนั้น ในตัวอย่างที่ 1 จึงเข้าใจได้ง่ายว่าด้วยความแตกต่างที่ตามมาแต่ละครั้ง "สามเท่า" เพิ่มเติมจะ "กระโดดออกมา" ก่อนเลขชี้กำลัง และในขั้นตอนใดๆ ระดับของ "สามเท่า" จะเท่ากับจำนวน อนุพันธ์ ดังนั้น:

โดยที่จำนวนธรรมชาติโดยพลการอยู่ที่ไหน

และแน่นอน ถ้า ได้อนุพันธ์อันดับ 1 มาอย่างแน่นอน: , ถ้า - แล้ว 2: เป็นต้น ดังนั้นอนุพันธ์ที่ยี่สิบจึงถูกกำหนดทันที: - และไม่มี "แผ่นกิโลเมตร"!

อุ่นเครื่องด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 2

ค้นหาคุณสมบัติ เขียนอนุพันธ์ของคำสั่ง

คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

หลังจากการวอร์มอัพที่กระฉับกระเฉง มาดูกันดีกว่า ตัวอย่างที่ซับซ้อนซึ่งเราจะใช้อัลกอริธึมโซลูชันข้างต้น สำหรับผู้ที่ได้อ่านบทเรียน จำกัดลำดับมันจะง่ายขึ้นเล็กน้อย:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาฟังก์ชัน

วิธีการแก้: เพื่อชี้แจงสถานการณ์ เราพบอนุพันธ์หลายอย่าง:

เราไม่รีบร้อนที่จะคูณจำนวนผลลัพธ์! ;-)


บางทีพอ ... ฉันทำมันเกินกำลังไปหน่อย

ในขั้นตอนต่อไป เป็นการดีที่สุดที่จะเขียนสูตรสำหรับอนุพันธ์ "nth" (ทันทีที่เงื่อนไขไม่ต้องการนี้ ก็สามารถผ่านร่างได้). ในการทำเช่นนี้ เราจะดูผลลัพธ์ที่ได้รับและระบุรูปแบบที่จะได้รับอนุพันธ์ถัดไป

ก่อนอื่นพวกเขาเซ็น Interleating ให้ "ไฟกระพริบ"และเนื่องจากอนุพันธ์อันดับ 1 เป็นบวก ปัจจัยต่อไปนี้จะเข้าสู่สูตรทั่วไป: . ตัวเลือกที่เทียบเท่าจะทำได้ แต่โดยส่วนตัวแล้ว ในฐานะผู้มองโลกในแง่ดี ฉันชอบเครื่องหมายบวก =)

ประการที่สองในตัวเศษ "ลม" แฟกทอเรียลและมัน "ล้าหลัง" จำนวนของอนุพันธ์โดยหนึ่งหน่วย:

และประการที่สาม กำลังของ “สอง” เพิ่มขึ้นในตัวเศษ ซึ่งเท่ากับจำนวนของอนุพันธ์ สามารถพูดได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับระดับของตัวส่วน ในที่สุด:

เพื่อวัตถุประสงค์ในการตรวจสอบ เรามาแทนที่ค่า "en" สองสามค่า ตัวอย่างเช่น และ:

เยี่ยมมาก ตอนนี้การทำผิดพลาดเป็นเพียงบาป:

ตอบ:

ฟังก์ชันที่ง่ายกว่าสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาคุณสมบัติ

และปัญหาที่ยุ่งยากกว่านั้นคือ

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาคุณสมบัติ

ทำซ้ำขั้นตอนอีกครั้ง:

1) อันดับแรก เราพบอนุพันธ์หลายตัว สามหรือสี่มักจะเพียงพอที่จะจับรูปแบบ

2) จากนั้นฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้รวบรวม (อย่างน้อยก็ในร่าง)อนุพันธ์ "nth" - รับประกันว่าจะป้องกันข้อผิดพลาด แต่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้อง ประมาณการทางจิตใจและจดทันที ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับที่ยี่สิบหรือแปด นอกจากนี้ คนทั่วไปบางคนสามารถแก้ปัญหาด้วยปากเปล่าได้ อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าวิธีการ "รวดเร็ว" นั้นเต็มไปด้วยวิธีการและควรเล่นอย่างปลอดภัย

3) ในขั้นตอนสุดท้ายเราตรวจสอบอนุพันธ์ "nth" - เราใช้ค่าคู่ "en" (ดีกว่าค่าที่อยู่ใกล้เคียง) และทำการทดแทน และน่าเชื่อถือยิ่งกว่านั้นคือการตรวจสอบอนุพันธ์ทั้งหมดที่พบก่อนหน้านี้ จากนั้นเราแทนที่ด้วยค่าที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น หรือและหวีผลลัพธ์อย่างระมัดระวัง

วิธีแก้ปัญหาโดยย่อของตัวอย่างที่ 4 และ 5 ในตอนท้ายของบทเรียน

ในบางงาน เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหา คุณต้องใช้เวทย์มนตร์เล็กน้อยกับฟังก์ชัน:

ตัวอย่างที่ 6

วิธีการแก้: ฉันไม่ต้องการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่เสนอเลย เพราะมันจะกลายเป็นเศษส่วน "ไม่ดี" ซึ่งจะทำให้ยากต่อการค้นหาอนุพันธ์ที่ตามมา

ในเรื่องนี้ขอแนะนำให้ทำการแปลงเบื้องต้น: เราใช้ ความแตกต่างของสูตรกำลังสองและ คุณสมบัติลอการิทึม :

ค่อนข้างเป็นเรื่องที่แตกต่าง:

และเพื่อนเก่า:

ฉันคิดว่าทุกอย่างกำลังถูกมอง โปรดทราบว่าเศษส่วนที่ 2 มีการเซ็นชื่อ แต่ส่วนที่ 1 ไม่ใช่ เราสร้างอนุพันธ์ของคำสั่ง:

ควบคุม:

เพื่อความสวยงาม เราเอาแฟคทอเรียลออกจากวงเล็บ:

ตอบ:

งานที่น่าสนใจสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 7

เขียนสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

และตอนนี้เกี่ยวกับความรับผิดชอบร่วมกันที่ไม่สั่นคลอนซึ่งแม้แต่มาเฟียอิตาลีก็ยังอิจฉา:

ตัวอย่างที่ 8

รับหน้าที่. หา

อนุพันธ์อันดับที่สิบแปด ณ จุด . แค่.

วิธีการแก้: ขั้นแรก คุณต้องค้นหา . ไป:

พวกเขาเริ่มจากไซน์และมาถึงไซน์ เป็นที่ชัดเจนว่าด้วยความแตกต่างเพิ่มเติม วัฏจักรนี้จะดำเนินต่อไปจนถึงอนันต์ และคำถามต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น: จะ "รับ" อนุพันธ์อันดับที่สิบแปดได้อย่างไร?

วิธี "มือสมัครเล่น": เราเขียนตัวเลขของอนุพันธ์ที่ตามมาทางด้านขวาลงในคอลัมน์อย่างรวดเร็ว:

ทางนี้:

แต่มันใช้ได้ถ้าลำดับของอนุพันธ์ไม่มากเกินไป หากคุณต้องการหาอนุพันธ์อันดับที่ร้อย คุณควรใช้การหารด้วย 4 หนึ่งร้อยหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ และง่ายที่จะเห็นว่าตัวเลขดังกล่าวอยู่ที่บรรทัดล่างสุด ดังนั้น: .

อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์อันดับที่ 18 สามารถหาได้จากการพิจารณาที่คล้ายคลึงกัน:
บรรทัดที่สองประกอบด้วยตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัวและเหลือเศษ 2

วิธีการทางวิชาการอื่น ๆ จะขึ้นอยู่กับ ไซน์และ สูตรลด. เราใช้อนุพันธ์สูตรสำเร็จรูป "nth" ของไซน์ ซึ่งตัวเลขที่ต้องการจะถูกแทนที่อย่างง่ายๆ ตัวอย่างเช่น:
(สูตรลด ) ;
(สูตรลด )

ในกรณีของเรา:

(1) เนื่องจากไซน์เป็นฟังก์ชันคาบที่มีจุด ดังนั้นอาร์กิวเมนต์จึงสามารถ "คลายเกลียว" ได้ 4 งวด (เช่น) อย่างไม่ลำบาก

อนุพันธ์อันดับของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันสามารถหาได้จากสูตร:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

คุณไม่จำเป็นต้องจำอะไรเป็นพิเศษ เพราะยิ่งคุณรู้สูตรมากเท่าไหร่ คุณก็ยิ่งเข้าใจน้อยลงเท่านั้น ดีกว่ามากที่จะรู้ ทวินามของนิวตันเนื่องจากสูตรของไลบนิซคล้ายกับเขามาก ผู้โชคดีที่ได้รับอนุพันธ์ของคำสั่งที่ 7 ขึ้นไป (ซึ่งไม่น่าเป็นไปได้จริงๆ)จะถูกบังคับให้ทำเช่นนั้น แต่เมื่อถึงเวลา วิชาผสมผสาน- คุณยังต้อง =)

ลองหาอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันกัน เราใช้สูตร Leibniz:

ในกรณีนี้: . อนุพันธ์นั้นง่ายต่อการคลิกด้วยวาจา:

ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนตัวอย่างระมัดระวังและระมัดระวังและทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้น:

ตอบ:

งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 11

ค้นหาคุณสมบัติ

หากในตัวอย่างก่อนหน้านี้ วิธีแก้ปัญหา "บนหน้าผาก" ยังคงแข่งขันกับสูตรของไลบนิซ ต่อไปนี้จะไม่เป็นที่พอใจแล้วจริงๆ และไม่เป็นที่พอใจมากยิ่งขึ้น - ในกรณีของอนุพันธ์อันดับสูงกว่า:

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาอนุพันธ์ของคำสั่งที่ระบุ

วิธีการแก้: ข้อสังเกตแรกและสำคัญ - การตัดสินใจเช่นนี้อาจจะไม่จำเป็น =) =)

ลองเขียนฟังก์ชันและหาอนุพันธ์ของพวกมันจนถึงลำดับที่ 5 กัน ฉันคิดว่าอนุพันธ์ของคอลัมน์ด้านขวากลายเป็นคำพูดสำหรับคุณ:

ในคอลัมน์ด้านซ้ายอนุพันธ์ "สด" "สิ้นสุด" อย่างรวดเร็วและนี่เป็นสิ่งที่ดีมาก - ในสูตร Leibniz สามเทอมจะเป็นศูนย์:

ฉันจะอยู่อีกครั้งในภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกที่ปรากฏในบทความเกี่ยวกับ อนุพันธ์ที่ซับซ้อน: เพื่อลดความซับซ้อนของผลลัพธ์? โดยหลักการแล้ว คุณสามารถปล่อยไว้อย่างนั้น - ครูจะตรวจสอบได้ง่ายยิ่งขึ้น แต่เขาอาจต้องนึกถึงการตัดสินใจ การทำให้เข้าใจง่ายด้วยความคิดริเริ่มของตนเองนั้นเต็มไปด้วยข้อผิดพลาดเกี่ยวกับพีชคณิต อย่างไรก็ตาม เรามีคำตอบที่ได้รับในแบบ "ปฐมกาล" =) (ดูลิงค์ในตอนต้น)และฉันหวังว่ามันจะถูกต้อง:

เยี่ยมมาก ทุกอย่างได้ผล

ตอบ:

งานที่มีความสุขสำหรับการแก้ปัญหาตนเอง:

ตัวอย่างที่ 13

สำหรับฟังก์ชั่น:
ก) ค้นหาโดยการสร้างความแตกต่างโดยตรง
b) ค้นหาโดยสูตร Leibniz;
ค) คำนวณ

ไม่ ฉันไม่ใช่พวกซาดิสม์เลย จุด "a" นี่ค่อนข้างง่าย =)

แต่อย่างจริงจัง การแก้ปัญหา "โดยตรง" โดยการสร้างความแตกต่างแบบต่อเนื่องก็มี "สิทธิในการมีชีวิต" ด้วยเช่นกัน - ในบางกรณีความซับซ้อนนั้นเทียบได้กับความซับซ้อนของการใช้สูตรไลบนิซ ใช้ตามที่เห็นสมควร - ไม่น่าจะใช่เหตุที่จะไม่นับงานที่มอบหมาย

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ในการยกย่อหน้าสุดท้ายคุณต้องสามารถ แยกความแตกต่างของฟังก์ชันโดยปริยาย:

อนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันโดยปริยาย

พวกเราหลายคนใช้เวลาหลายชั่วโมง วันและสัปดาห์ในการศึกษาเล่าเรียน วงกลม, พาราโบลา, อติพจน์– และบางครั้งก็ดูเหมือนเป็นการลงโทษที่แท้จริง มาแก้แค้นและสร้างความแตกต่างให้ถูกต้องกันเถอะ!

เริ่มจากพาราโบลา "โรงเรียน" ใน ตำแหน่งตามบัญญัติ:

ตัวอย่างที่ 14

สมการจะได้รับ หา .

วิธีการแก้: ขั้นตอนแรกคุ้นเคย:

ความจริงที่ว่าฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันถูกแสดงออกมาโดยปริยายไม่ได้เปลี่ยนสาระสำคัญของเรื่อง อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 1:

อย่างไรก็ตามมีกฎของเกม: อนุพันธ์ของคำสั่งที่ 2 และสูงกว่ามักจะแสดง ผ่าน "x" และ "y" เท่านั้น. ดังนั้นเราจึงแทนที่อนุพันธ์อันดับที่ 2:

อนุพันธ์อันดับสามคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 2:

ในทำนองเดียวกัน เรามาแทนที่:

ตอบ:

อติพจน์ "โรงเรียน" ใน ตำแหน่งตามบัญญัติ- สำหรับ งานอิสระ:

ตัวอย่างที่ 15

สมการจะได้รับ หา .

ฉันขอย้ำว่าอนุพันธ์อันดับ 2 และผลลัพธ์ควรแสดงผ่าน "x" / "y" เท่านั้น!

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

หลังจากแกล้งเด็ก มาดูภาพลามกอนาจารของเยอรมัน @ fia มาดูตัวอย่างสำหรับผู้ใหญ่กันดีกว่า ซึ่งเราได้เรียนรู้วิธีแก้ไขปัญหาที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง:

ตัวอย่างที่ 16

วงรีตัวเขาเอง.

วิธีการแก้: หาอนุพันธ์อันดับ 1 :

ตอนนี้เรามาหยุดและวิเคราะห์ช่วงเวลาต่อไปกัน ตอนนี้เราต้องแยกความแตกต่างของเศษส่วน ซึ่งไม่สนับสนุนเลย ในกรณีนี้ เป็นเรื่องง่าย แต่ในปัญหาในชีวิตจริง มีเพียงของขวัญสองสามอย่างเท่านั้น มีวิธีหลีกเลี่ยงการหาอนุพันธ์ที่ยุ่งยากหรือไม่? มีอยู่! เราใช้สมการและใช้เทคนิคเดียวกับการหาอนุพันธ์อันดับ 1 - เรา "แฮงค์" ทั้งสองส่วน:

อนุพันธ์อันดับสองต้องแสดงเฉพาะผ่าน และ ดังนั้นตอนนี้ (ตอนนี้)มันสะดวกที่จะกำจัดอนุพันธ์อันดับ 1 เพื่อทำสิ่งนี้ เราแทนที่ด้วยสมการผลลัพธ์:

เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาทางเทคนิคที่ไม่จำเป็น เราคูณทั้งสองส่วนโดย:

และเฉพาะในขั้นตอนสุดท้ายที่เราวาดเศษส่วน:

ตอนนี้เราดูที่สมการดั้งเดิมและสังเกตว่าผลลัพธ์ที่ได้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้:

ตอบ:

วิธีหาค่าของอนุพันธ์อันดับ 2 ในบางจุด (ซึ่งแน่นอนว่าเป็นของวงรี)ตัวอย่างเช่น ณ จุดนั้น ? ง่ายมาก! แม่ลายนี้พบแล้วในบทเรียนเกี่ยวกับ สมการปกติ: ในนิพจน์ของอนุพันธ์อันดับ 2 คุณต้องแทนที่ :

แน่นอน ในทั้งสามกรณี คุณสามารถรับฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนและแยกความแตกต่างได้ แต่จากนั้นเตรียมจิตใจให้พร้อมสำหรับการทำงานกับสองฟังก์ชันที่มีราก ในความคิดของฉัน วิธีแก้ปัญหาสะดวกกว่าในการดำเนินการ "โดยปริยาย"

ตัวอย่างสุดท้ายสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเอง:

ตัวอย่าง 17

ค้นหาฟังก์ชันโดยปริยาย

สูตรไลบนิซสำหรับ การคำนวณครั้งที่ nอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน หลักฐานมีให้ในสองวิธี พิจารณาตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของลำดับที่ n

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: อนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน

สูตรไลบนิซ

เมื่อใช้สูตรไลบนิซ คุณสามารถคำนวณอนุพันธ์อันดับที่ n ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันได้ ดูเหมือนว่านี้:
(1) ,
ที่ไหน
เป็นสัมประสิทธิ์ทวินาม

สัมประสิทธิ์ทวินามคือสัมประสิทธิ์การขยายตัวของทวินามในกำลังของ และ :
.
ตัวเลขก็คือจำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ n ถึง k

หลักฐานของสูตรไลบนิซ

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน:
(2) .
ให้เราเขียนสูตร (2) ใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
นั่นคือ เราพิจารณาว่าฟังก์ชันหนึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปร x และอีกฟังก์ชันหนึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปร y เมื่อสิ้นสุดการคำนวณ เราถือว่า จากนั้นสูตรก่อนหน้าสามารถเขียนได้ดังนี้:
(3) .
เนื่องจากอนุพันธ์มีค่าเท่ากับผลรวมของเงื่อนไข และแต่ละเทอมเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน ดังนั้นในการคำนวณอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น คุณจึงสามารถใช้กฎ (3) ได้อย่างสม่ำเสมอ

จากนั้นสำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n เรามี:

.
ระบุว่า และ เราได้รับสูตรไลบนิซ:
(1) .

พิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำ

เรานำเสนอการพิสูจน์สูตรไลบนิซโดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

มาเขียนสูตรไลบนิซใหม่:
(4) .
สำหรับ n = 1 เรามี:
.
นี่คือสูตรอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน เธอเป็นคนยุติธรรม

สมมุติว่าสูตร (4) ใช้ได้สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ให้เราพิสูจน์ว่ามันใช้ได้กับอนุพันธ์ n + 1 -คำสั่งที่

ความแตกต่าง (4):
;



.
ดังนั้นเราจึงพบว่า:
(5) .

แทนที่ใน (5) และคำนึงว่า:

.
นี่แสดงว่าสูตร (4) มีรูปแบบเดียวกันสำหรับอนุพันธ์ n + 1 -คำสั่งที่

ดังนั้น สูตร (4) ใช้ได้กับ n = 1 . จากสมมติฐานที่ว่าเป็นจริงสำหรับตัวเลขบางจำนวน n = m จะเป็นไปตามเป็นจริงสำหรับ n = m + 1 .
สูตรไลบนิซได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง

คำนวณอนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชัน
.

เราใช้สูตรไลบนิซ
(2) .
ในกรณีของเรา
;
.

ตามตารางอนุพันธ์เรามี:
.
เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
.
แล้ว
.
นี่แสดงให้เห็นว่าการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันไซน์ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงโดย แล้ว
.

เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
;
;
;
, .

เนื่องจาก for มีเพียงสามเทอมแรกในสูตร Leibniz เท่านั้นที่ไม่ใช่ศูนย์ การหาค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม
;
.

ตามสูตร Leibniz เรามี:

.

ดูสิ่งนี้ด้วย: