Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

"Теж мені, біном Ньютона!»

з роману «Майстер і Маргарита»

«Трикутник Паскаля такий простий, що виписати його зможе навіть десятирічна дитина. У той самий час він таїть у собі невичерпні скарби і пов'язує докупи різні аспекти математики, які мають на перший погляд між собою нічого спільного. Такі незвичайні властивості дозволяють вважати трикутник Паскаля однією з найвитонченіших схем у всій математиці»

Мартін Гарднер.

Мета роботи:узагальнити формули скороченого множення, показати їх застосування до розв'язання задач.

Завдання:

1) вивчити та систематизувати інформацію з цього питання;

2) розібрати приклади завдань на застосування бінома Ньютона та формул суми та різниці ступенів.

Об'єкти дослідження:біном Ньютона, формули суми та різниці ступенів.

Методи дослідження:

Робота з навчальною та науково-популярною літературою, ресурсами мережі Інтернет.

Розрахунки, порівняння, аналіз, аналогія.

Актуальність.Людині часто доводиться мати справу із завданнями, в яких потрібно підрахувати число всіх можливих способів розташування деяких предметів або число всіх можливих способів здійснення певної дії. Різні шляхи чи варіанти, які доводиться вибирати людині, складаються у найрізноманітніші комбінації. І цілий розділ математики, званий комбінаторикою, зайнятий пошуком відповіді питання: скільки всього є комбінацій у тому чи іншому випадку.

З комбінаторними величинами доводиться мати справу представникам багатьох спеціальностей: вченому-хіміку, біологу, конструктору, диспетчеру тощо. Посилення інтересу до комбінаторики останнім часом обумовлюється бурхливим розвитком кібернетики та обчислювальної техніки.

Вступ

Коли хочуть підкреслити, що співрозмовник перебільшує складність завдань, з якими він зіткнувся, кажуть: Теж мені біном Ньютона! Мовляв, ось біном Ньютона, це складно, а в тебе якісь проблеми! Про біном Ньютона чули навіть ті люди, інтереси яких не пов'язані з математикою.

Слово «біном» означає двочлен, тобто. суму двох доданків. З шкільного курсувідомі так звані формули скороченого множення:

( а+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Узагальненням цих формул є формула, яка називається формулою бінома Ньютона. Використовуються в школі та формули розкладання на множники різниці квадратів, суми та різниці кубів. Чи мають вони узагальнення для інших ступенів? Так, є такі формули, вони часто використовуються у вирішенні різних завдань: на доказ подільності, скорочення дробів, наближені обчислення.

Вивчення узагальнюючих формул розвиває дедуктивно-математичне мислення та загальні розумові здібності.

РОЗДІЛ 1. ФОРМУЛА БІНОМА НЬЮТОНА

Поєднання та їх властивості

Нехай X - множина, що складається з n елементів. Будь-яке підмножина Y множини X , що містить k елементів, називається поєднанням k елементів з n при цьому, k ≤ n .

Число різних поєднань k елементів з n позначається n k . Однією з найважливіших формул комбінаторики є наступна формула для числа n k :

Її можна записати після очевидних скорочень наступним чином:

Зокрема,

Це цілком узгоджується з тим, що у множині X є лише одне підмножина з 0 елементів - порожнє підмножина.

Числа C n k мають ряд чудових властивостей.

Справедлива формула n k = n - k n , (3)

Сенс формули (3) полягає в тому, що є взаємно-однозначна відповідність між безліччю всіх k-членних підмножин з X і безліччю всіх (n - k )-членних підмножин з X: щоб встановити цю відповідність, достатньо кожному k-членному підмножині Y зіставити його доповнення у множині X.

Справедлива формула З 0 n + З 1 n + З 2 n + … + З n n = 2 n (4)

Сума, що стоїть у лівій частині, виражає число всіх підмножин множини X (C 0 n є число 0-членних підмножин, C 1 n - число одночленних підмножин і т.д.).

За будь-якого k, 1≤ k≤ n , справедлива рівність

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Цю рівність легко отримати з допомогою формули (1). Справді,

1.2. Висновок формули бінома Ньютона

Розглянемо ступені двочлена а +b .

n = 0, (а +b ) 0 = 1

n = 1, (а +b ) 1 = 1а+1b

n = 2,(а +b ) 2 = 1а 2 + 2аb +1 b 2

n = 3,(а +b ) 3 = 1 а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 +1 b 3

n = 4,(а +b ) 4 = 1а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 +4аb 3 +1 b 4

n = 5,(а +b ) 5 = 1а 5 + 5а 4 b + 10а 3 b 2 + 10а 2 b 3 + 5аb 4 + 1 b 5

Зауважимо такі закономірності:

Число членів одержуваного багаточлена на одиницю більше за показник ступеня бінома;

Показник ступеня першого доданку зменшується від n до 0, показник ступеня другого доданку зростає від 0 до n;

Ступені всіх одночленів рівні ступеня двочлена за умови;

Кожен одночлен є твором першого та другого виразу в різних ступеняхта деякого числа - біномінального коефіцієнта;

Біномінальні коефіцієнти, рівновіддалені від початку та кінця розкладання, рівні.

Узагальненням цих формул є така формула, звана формулою бінома Ньютона:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

У цій формулі nможе бути будь-яким натуральним числом.

Виведемо формулу (6). Насамперед, запишемо:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

де число дужок, що перемножуються, дорівнює n. Зі звичайного правила множення суми на суму випливає, що вираз (7) дорівнює сумі всіляких творів, які можна скласти наступним чином: будь-який доданок першої із сум а + bмножиться на будь-який доданок другої суми a +bна будь-який доданок третьої суми і т.д.

Зі сказаного ясно, що доданком у виразі для (a + b ) nвідповідають (взаємно-однозначно) рядки довжиною n, складені з літер а та b.Серед доданків зустрічатимуться такі члени; очевидно, що таким членам відповідають рядки, що містять однакову кількість букв а. Але число рядків, що містять рівно k разів букву а, Так само З n k . Отже, сума всіх членів, що містять букву а множником рівно k разів, дорівнює С n k a n - k b k . Оскільки k може набувати значень 0, 1, 2, …, n-1, n, то з нашого міркування випливає формула (6). Зауважимо, що (6) можна записати коротше: (8)

Хоча формулу (6) називають ім'ям Ньютона, насправді її відкрили ще до Ньютона (наприклад, її знав Паскаль). Заслуга Ньютона у тому, що знайшов узагальнення цієї формули у разі не цілих показників. Саме І. Ньютон у 1664-1665 рр. вивів формулу, що виражає ступінь двочлена для довільних дробових та негативних показників.

Числа 0 n , C 1 n , ..., C n n , що входять до формули (6), прийнято називати біноміальними коефіцієнтами, які визначаються так:

З формули (6) можна отримати низку властивостей цих коефіцієнтів. Наприклад, вважаючи а=1, b = 1, отримаємо:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

тобто. формулу (4). Якщо покласти а= 1, b = -1, то матимемо:

0 = З 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

або С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Це означає, що сума коефіцієнтів парних членів розкладання дорівнює сумі коефіцієнтів непарних членів розкладання; кожна їх дорівнює 2 n -1 .

Коефіцієнти членів, рівновіддалені від кінців розкладання, рівні. Це властивості випливає із співвідношення: З n k = З n n - k

Цікавий окремий випадок

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

або коротше (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Поліноміальна теорема

Теорема.

Доведення.

Щоб після розкриття дужок вийшов одночлен, потрібно вибрати ті дужки, з яких береться, ті дужки, з яких береться і т.д. і ті дужки, з яких береться. Коефіцієнт при цьому одночлен після приведення подібних членів дорівнює числу способів , якими можна здійснити такий вибір. Перший крок послідовності виборів можна здійснити засобами, другий крок - , третій - і т.д., -й крок - засобами. Коефіцієнт, що шукається, дорівнює твору

РОЗДІЛ 2. Похідні вищих порядків.

Поняття похідних вищих систем.

Нехай функція диференційована у певному інтервалі. Тоді її похідна, взагалі кажучи, залежить від х, тобто є функцією від х. Отже, стосовно неї знову можна порушувати питання існування похідної.

Визначення . Похідна від першої похідної називається похідної другого порядку або другої похідної та позначається символом або, тобто

Визначення . Похідна від другої похідної називається похідною третього порядку або третьою похідною і позначається або символом.

Визначення . Похіднийn -ого порядкуфункції називається перша похідна від похідної (n -1)-го порядку цієї функції і позначається символом або:

Визначення . Похідні порядку вище першого називаються найвищими похідними.

Зауваження. Аналогічно можна отримати формулу n-ой похідної функції:

Друга похідна параметрично заданої функції

Якщо функція задана параметрично рівняннями, то знаходження похідної другого порядку необхідно продиференціювати вираз її першої похідної, як складної функціїнезалежної змінної.

Так, то

та з урахуванням того, що,

Отримаємо, тобто.

Аналогічно можна знайти третю похідну.

Диференціал суми, твору та приватного.

Так як диференціал виходить з похідною множенням її на диференціал незалежної змінної, то, знаючи похідні основних елементарних функцій, а також правила для відшукання похідних, можна дійти аналогічних правил для відшукання диференціалів.

1 0 . Диференціал постійної дорівнює нулю.

2 0 . Диференціал суми алгебри кінцевого числа диференційованих функцій дорівнює сумі алгебри диференціалів цих функцій .

3 0 . Диференціал твору двох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів першої функції на диференціал другої і другої функції на диференціал першої .

Слідство. Постійний множник можна виносити знак диференціала.

2.3. Функції, задані параметрично, їхнє диференціювання.

Визначення . Функція називається заданою параметрично, якщо обидві змінні х і у визначаються кожна окремо як однозначні функції від однієї і тієї ж допоміжної змінної - параметраt :

деt змінюється у межах.

Зауваження . Наведемо параметричні рівняння кола та еліпса.

а) Коло з центром на початку координат та радіусом rмає параметричні рівняння:

б) Запишемо параметричні рівняння для еліпса:

Виключивши параметр tз параметричних рівнянь розглянутих ліній, можна дійти їх канонічних рівнянь.

Теорема . Якщо функція у від аргументу х задана параметрично рівняннями, де і диференційовані поt функції та, то.

2.4. Формула Лейбниця

Для знаходження похідної n-ого порядку від виконання двох функцій велике практичне значення має формула Лейбніца

Нехай uі v- Деякі функції від змінної х, що мають похідні будь-якого порядку та y = uv. Висловимо n-ую похідну через похідні функцій uі v .

Маємо послідовно

Легко помітити аналогію між виразами для другої та третьої похідних і розкладанням бінома Ньютона відповідно у другому та третьому ступенях, але замість показників ступеня стоять числа, що визначають порядок похідної, а самі функції можна розглядати як «похідні нульового порядку». Враховуючи це, отримаємо формулу Лейбніца:

Цю формулу можна довести методом математичної індукції.

РОЗДІЛ 3. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛИ ЛЕЙБНИЦЯ.

Для обчислення похідної будь-якого порядку від виконання двох функцій, минаючи послідовне застосування формули обчислення похідної від виконання двох функцій, застосовується формула Лейбниця.

За допомогою цієї формули розглянемо приклади обчислення похідної n-го порядку від двох функцій.

приклад 1.

Знайти похідну другого порядку функції

Відповідно до визначення, друга похідна - це перша похідна від першої похідної, тобто

Тому спочатку знайдемо похідну першого порядку від заданої функції згідно правилам диференціюванняі використовуючи таблицю похідних:

Тепер знайдемо похідну від похідної першого порядку. Це буде шукана похідна другого порядку:

Відповідь:

приклад 2.

Знайти похідну-го порядку функції

Рішення.

Будемо послідовно знаходити похідні першого, другого, третього і так далі порядків заданої функції для того, щоб встановити закономірність, яку можна буде узагальнити на похідну.

Похідну першого порядку знаходимо як похідну приватного:

Тут вираз називається факторіалом числа. Факторіал числа дорівнює добутку чисел від одного до, тобто

Похідна другого порядку є першою похідною від першої похідної, тобто

Похідна третього порядку:

Четверта похідна:

Зауважимо закономірність: у чисельнику стоїть факторіал числа, яке дорівнює порядку похідної, а в знаменнику вираз у ступеню на одиницю більший, ніж порядок похідної, тобто

Відповідь.

приклад 3.

Знайти значення третьої похідної функції у точці.

Рішення.

Згідно таблиці похідних вищих порядків, маємо:

У цьому прикладі, тобто отримуємо

Зауважимо, що подібний результат можна було б отримати і за послідовного знаходження похідних.

У заданій точцітретя похідна дорівнює:

Відповідь:

приклад 4.

Знайти другу похідну функції

Рішення.Для початку знайдемо першу похідну:

Для знаходження другої похідної продиференціюємо вираз для першої похідної ще раз:

Відповідь:

Приклад 5.

Знайти, якщо

Оскільки задана функція є добутком двох функцій, то знаходження похідної четвертого порядку доцільно буде застосувати формулу Лейбніца:

Знайдемо всі похідні та порахуємо коефіцієнти при доданках.

1) Порахуємо коефіцієнти при доданках:

2) Знайдемо похідні від функції:

3) Знайдемо похідні від функції:

Відповідь:

Приклад 6.

Дано функцію y=x 2 cos3x. Знайти похідну третього порядку.

Нехай u = cos3x, v = x 2 . Тоді за формулою Лейбніца знаходимо:

Похідні у цьому вираженні мають вигляд:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Отже, третя похідна заданої функції дорівнює

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Приклад 7.

Знайти похідну n -го порядку функції y=x 2 cosx.

Скористаємося формулою Лейбніца, вважаючиu=cosx, v=x 2 . Тоді

Інші члени ряду дорівнюють нулю, оскільки(x2)(i)=0 при i>2.

Похідна n -го порядку функції косинус:

Отже, похідна нашої функції дорівнює

ВИСНОВОК

У школі вивчаються і використовуються так звані формули скороченого множення: квадрати та куби суми та різниці двох виразів та формули розкладання на множники різниці квадратів, суми та різниці кубів двох виразів. Узагальненням цих формул є формула, звана формулою бінома Ньютона та формули розкладання на множники суми та різниці ступенів. Ці формули часто використовуються у вирішенні різних завдань: на доказ подільності, скорочення дробів, наближені обчислення. Розглянуто цікаві властивості трикутника Паскаля, тісно пов'язані з біномом Ньютона.

У роботі систематизовано інформацію на тему, наведено приклади завдань застосування бінома Ньютона і формул суми і різниці ступенів. Робота може бути використана в роботі математичного гуртка, а також для самостійного вивченнятими, хто захоплюється математикою.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.Віленкін Н.Я. Комбінаторика.- вид. "Наука". - М., 1969 р.

2. Микільський С.М., Потапов М.К., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра та початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. організацій базовий та поглиблений рівні – М.: Просвітництво, 2014. – 431 с.

3.Рішення завдань зі статистики, комбінаторики та теорії ймовірностей. 7-9 кл. / Автор - укладач В.М. Студенецька. - Вид. 2-ге., випр. - Волгоград: Вчитель, 2009 р.

4.Савушкіна І.А., Хугаєв К.Д., Тишкін С.Б. Алгебраїчні рівняння вищих ступенів / методичний посібникдля слухачів міжвузівського підготовчого відділення – Санкт-Петербург, 2001.

5. Шаригін І.Ф. Факультативний курс з математики: Розв'язання задач. Навчальний посібникдля 10 кл. середньої школи. - М: Просвітництво, 1989.

6.Наука і життя, Біном Ньютона та трикутник Паскаля[Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Похідні вищих порядків

На цьому уроці ми навчимося знаходити похідні вищих порядків, а також записувати загальну формулу енної похідної. Крім того, буде розглянута формула Лейбніца такою похідною і на численні прохання - похідні вищих порядків від неявно заданої функції. Пропоную одразу ж пройти міні-тест:

Ось функція: і ось її перша похідна:

У тому випадку, якщо у вас виникли якісь труднощі/непорозуміння щодо цього прикладу, будь ласка, почніть із двох базових статей мого курсу: Як знайти похідну?і Похідна складної функції. Після освоєння елементарних похідних рекомендую ознайомитись із уроком Найпростіші завдання з похідною, на якому ми розібралися, зокрема зі другий похідний.

Неважко навіть здогадатися, що друга похідна – це похідна від 1-ї похідної:

У принципі другу похідну вже вважають похідною вищого порядку.

Аналогічно: третя похідна – це похідна від 2-ї похідної:

Четверта похідна – є похідна від 3-ї похідної:

П'ята похідна: , і очевидно, що всі похідні вищих порядків теж дорівнюватимуть нулю:

Крім римської нумерації на практиці часто використовують такі позначення:
, Похідну ж «енного» порядку позначають через . При цьому надрядковий індекс потрібно обов'язково укладати у дужки.– щоб відрізняти похідну від «гравця» у мірі.

Іноді зустрічається такий запис: - Третя, четверта, п'ята, ..., «Енна» похідні відповідно.

Вперед без страху та сумнівів:

Приклад 1

Дана функція. Знайти.

Рішення: Що тут попишеш ... - вперед за четвертою похідною :)

Чотири штрихи ставити вже не прийнято, тому переходимо на числові індекси:

Відповідь:

Добре, а тепер замислимося над таким питанням: що робити, якщо за умовою потрібно знайти не 4-ту, а, наприклад, 20-ту похідну? Якщо для похідної 3-4-5-го (максимум, 6-7-го)Порядок рішення оформляється досить швидко, то до похідних вищих порядків ми «доберемося» ой як не скоро. Не записувати ж справді 20 рядків! У подібній ситуації потрібно проаналізувати кілька знайдених похідних, побачити закономірність і скласти формулу енної похідної. Так, у Прикладі №1 легко зрозуміти, що при кожному наступному диференціюванні перед експонентою «вискакуватимуть» додаткова «трійка», причому на будь-якому кроці ступінь «трійки» дорівнює номеру похідної, отже:

Де – довільне натуральне число.

Якщо , то виходить точно 1-я похідна: якщо – то 2-а: і т.д. Таким чином, двадцята похідна визначається миттєво: – і жодних «кілометрових простирадл»!

Розігріваємось самостійно:

Приклад 2

Знайти функції. Записати похідну систему

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Після розминки, що бадьорить, розглянемо більше складні приклади, В яких відпрацюємо вищенаведений алгоритм рішення. Тим, хто встиг ознайомитись із уроком Межа послідовності, буде трохи легше:

Приклад 3

Знайти функції .

Рішення: щоб прояснити ситуацію знайдемо кілька похідних:

Отримані числа перемножувати не поспішаємо! ;-)


Мабуть, годі. …Навіть трохи переборщив.

На наступному кроці найкраще скласти формулу «енної» похідної. (якщо умова цього не вимагає, то можна обійтися чернеткою). Для цього дивимося на отримані результати та виявляємо закономірності, з якими виходить кожна наступна похідна.

По-перше, вони знаходять черги. Знакочередування забезпечує «мигалка», І оскільки 1-я похідна позитивна, то загальну формулу увійде наступний множник: . Підійде й еквівалентний варіант, але особисто я, як оптиміст, люблю знак «плюс» =)

По-друге, у чисельнику «накручується» факторіал, причому він «відстає» від похідної номера на одну одиницю:

І по-третє, у чисельнику зростає ступінь «двійки», яка дорівнює номеру похідної. Те саме можна сказати про ступінь знаменника. Остаточно:

З метою перевірки підставимо парочку значень «ен», наприклад, і :

Чудово, тепер припуститися помилки – просто гріх:

Відповідь:

Простіша функція для самостійного рішення:

Приклад 4

Знайти функції.

І завдання цікавіше:

Приклад 5

Знайти функції.

Ще раз повторимо порядок дій:

1) Спочатку знаходимо кілька похідних. Щоб уловити закономірності зазвичай вистачає трьох-чотирьох.

2) Потім настійно рекомендую скласти (хоча б на чернетці)"Енну" похідну - вона гарантовано вбереже від помилок. Але можна уникнути і без , тобто. подумки прикинути і відразу записати, наприклад, двадцяту або восьму похідну. Більше того, деякі люди взагалі здатні вирішити ці завдання усно. Однак слід пам'ятати, що «швидкі» способи загрожують, і краще перестрахуватися.

3) На заключному етапі виконуємо перевірку «енної» похідної – беремо пару значень «ен» (краще за сусідні) і виконуємо підстановку. А ще надійніше – перевірити всі знайдені раніше похідні. Після чого підставляємо в потрібне значення, наприклад, і акуратно зачісуємо результат.

Коротке рішення 4 і 5 прикладів наприкінці уроку.

У деяких завданнях, щоб уникнути проблем, над функцією потрібно трохи почаклувати:

Приклад 6

Рішення: диференціювати запропоновану функцію зовсім не хочеться, оскільки вийде «поганий» дріб, який сильно ускладнить перебування наступних похідних.

У цьому доцільно виконати попередні перетворення: використовуємо формулу різниці квадратіві властивість логарифму :

Зовсім інша справа:

І старі подруги:

Думаю, все проглядається. Зверніть увагу, що другий дріб знак чергується, а перший - ні. Конструюємо похідну систему:

Контроль:

Ну і для краси винесемо факторіал за дужки:

Відповідь:

Цікаве завдання для самостійного вирішення:

Приклад 7

Записати формулу похідної порядку для функції

А зараз про непорушну кругову поруку, якою позаздрить навіть італійська мафія:

Приклад 8

Дана функція. Знайти

Вісімнадцята похідна у точці. Усього.

Рішення: спочатку, очевидно, потрібно знайти Поїхали:

З синусу починали, до синуса і прийшли. Зрозуміло, що за подальшого диференціювання цей цикл триватиме нескінченно, і виникає таке запитання: як краще «дістатись» до вісімнадцятої похідної?

Спосіб «аматорський»: швиденько записуємо праворуч у стовпчик номера наступних похідних:

Таким чином:

Але це працює, якщо порядок похідної не дуже великий. Якщо ж треба знайти, скажімо, соту похідну, слід скористатися подільністю на 4 . Сто ділиться на чотири без залишку, і легко бачити, що такі числа розташовуються в нижньому рядку, тому: .

До речі, 18 похідну теж можна визначити з аналогічних міркувань:
у другому рядку знаходяться числа, які поділяються на 4 із залишком 2.

Інший, більш академічний метод заснований на періодичності синусуі формулах наведення. Користуємося готовою формулою «енної» похідної синусу , в яку просто підставляється потрібний номер. Наприклад:
(формула приведення ) ;
(формула приведення )

У нашому випадку:

(1) Оскільки синус – це періодична функція з періодом , то аргумент можна безболісно «відкрутити» 4 періоду (тобто .).

Похідну систему від виконання двох функцій можна знайти за формулою:

Зокрема:

Спеціально запам'ятовувати нічого не треба, бо чим більше формул знаєш – тим менше розумієш. Набагато корисніше ознайомитися з біномом Ньютонаоскільки формула Лейбніца дуже і дуже на нього схожа. Ну а ті везунчики, яким дістанеться похідна 7-го або вищих порядків (що, правда, малоймовірно), будуть змушені це зробити. Втім, коли черга дійде до комбінаторики– то все одно доведеться =)

Знайдемо третю похідну функції. Використовуємо формулу Лейбніца:

В даному випадку: . Похідні легко переклали усно:

Тепер акуратно та уважно виконуємо підстановку та спрощуємо результат:

Відповідь:

Аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 11

Знайти функції

Якщо у попередньому прикладі рішення «в лоб» ще конкурувало з формулою Лейбниця, то тут воно вже буде справді неприємним. І ще неприємніше – у разі вищого порядку похідної:

Приклад 12

Знайти похідну вказаного порядку

Рішення: перше і суттєве зауваження - вирішувати ось так , напевно, не потрібно =) =)

Запишемо функції та знайдемо їх похідні до 5-го порядку включно. Припускаю, що похідні правого стовпця стали для вас усними:

У лівому ж стовпці «живі» похідні швидко «закінчилися» і це дуже добре – у формулі Лейбниця обнуляться три доданки:

Знову зупинюся на дилемі, яка фігурувала у статті про складних похідних: чи спрощувати результат? В принципі, можна залишити і так – викладачеві навіть легше перевірятиме. Але він може вимагати довести рішення до пуття. З іншого боку, спрощення за власною ініціативою загрожує помилками алгебри. Однак у нас є відповідь, отримана «первісним» способом =) (Див. посилання на початку), і я сподіваюся, він правильний:

Чудово, все зійшлося.

Відповідь:

Щасливе завдання для самостійного вирішення:

Приклад 13

Для функції:
а) визначити безпосереднім диференціюванням;
б) знайти за формулою Лейбніца;
в) обчислити.

Ні, я зовсім не садист - пункт "а" тут досить простий =)

А якщо серйозно, то «пряме» рішення послідовним диференціюванням теж має «право на життя» – у ряді випадків його складність можна порівняти зі складністю застосування формули Лейбніца. Використовуйте, якщо вважаєте за доцільне – це навряд чи буде основою незаліку завдання.

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Щоб підняти заключний параграф, потрібно вміти диференціювати неявні функції:

Похідні вищих порядків від функцій, заданих неявно

Багато хто з нас витратив довгі години, дні та тижні життя на вивчення кіл, парабол, гіпербол– а іноді це взагалі здавалося покаранням. Тож давайте помстимось і продиференціюємо їх як слід!

Почнемо зі «шкільної» параболи до неї канонічному становищі:

Приклад 14

Дано рівняння. Знайти.

Рішення: перший крок добре знайомий:

Те, що функція та її похідна виражені неявно суті справи не змінює, друга похідна – це похідна від 1-ї похідної:

Однак свої правила гри існують: похідні 2-го та більш високих порядків прийнято висловлювати тільки через «ікс» та «ігрок». Тому в отриману 2-ю похідну підставимо:

Третя похідна – є похідна від 2-ї похідної:

Аналогічно, підставимо:

Відповідь:

«Шкільна» гіпербола в канонічному становищі– для самостійної роботи:

Приклад 15

Дано рівняння. Знайти.

Повторюю, що 2-у похідну і результат слід висловити лише через «ікс»/«ігрок»!

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Після дитячих витівок подивимося німецьку порногр@фію розглянемо більш дорослі приклади, з яких дізнаємося ще один важливий прийом рішення:

Приклад 16

Еліпсвласною персоною.

Рішення: знайдемо 1-у похідну:

А тепер зупинимося і проаналізуємо наступний момент: зараз маємо диференціювати дріб, що зовсім не тішить. В даному випадку вона, звичайно, проста, але в реально зустрічаються завдання таких подарунків разів два і влаштувався. Чи існує спосіб уникнути знаходження громіздкої похідної? Існує! Беремо рівняння та використовуємо той самий прийом, що і при знаходженні 1-ї похідної – «навішуємо» штрихи на обидві частини:

Друга похідна повинна бути виражена тільки через і тому зараз (саме зараз)зручно позбутися 1-ї похідної. Для цього в отримане рівняння підставимо:

Щоб уникнути зайвих технічних труднощів, помножимо обидві частини на:

І лише на завершальному етапі оформляємо дріб:

Тепер дивимося на вихідне рівняння та помічаємо, що отриманий результат піддається спрощенню:

Відповідь:

Як знайти значення 2-ї похідної в будь-якій точці (яка, зрозуміло, належить еліпсу), наприклад, у точці ? Дуже легко! Цей мотив вже зустрічався на уроці про рівнянні нормалі: у вираз 2-ї похідної потрібно підставити :

Безумовно, у всіх трьох випадках можна отримати явно задані функції та диференціювати їх, але тоді морально настройте працювати з двома функціями, які містять коріння. На мою думку, рішення зручніше провести «неявним шляхом».

Заключний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 17

Знайти неявно задану функцію

Наводиться формула Лейбниця для обчислення n-йпохідної роботи двох функцій. Надано її доказ двома способами. Розглянуто приклад обчислення похідної n-го порядку.

Зміст

Див. також: Похідна робота двох функцій

Формула Лейбниця

За допомогою формули Лейбніца можна обчислити похідну n-го порядку від двох функцій. Вона має такий вигляд:
(1) ,
де
- Біноміальні коефіцієнти.

Біноміальні коефіцієнти є коефіцієнтами розкладання бінома за ступенями і:
.
Також число є числом поєднань з n k .

Доказ формули Лейбниця

Застосуємо формулу похідної добутку двох функцій:
(2) .
Перепишемо формулу (2) у такому вигляді:
.
Тобто ми вважаємо, що одна функція залежить від змінної x, а інша - від змінної y. Наприкінці розрахунку ми вважаємо. Тоді попередню формулу можна записати так:
(3) .
Оскільки похідна дорівнює сумі членів, і кожен член є добутком двох функцій, то для обчислення похідних вищих порядків можна послідовно застосовувати правило (3).

Тоді для похідної n-го порядку маємо:

.
Враховуючи, що і ми отримуємо формулу Лейбніца:
(1) .

Доказ методом індукції

Наведемо доказ формули Лейбніца методом математичної індукції.

Ще раз випишемо формулу Лейбніца:
(4) .
При n = 1 маємо:
.
Це формула похідної праці двох функцій. Вона справедлива.

Припустимо, що формула (4) справедлива для похідної n-го порядку. Доведемо, що вона справедлива для похідної n+ 1 -го порядку.

Диференціюємо (4):
;



.
Отже, ми знайшли:
(5) .

Підставимо в (5) і врахуємо, що :

.
Звідси видно, що формула (4) має той самий вигляд і для похідної n + 1 -го порядку.

Отже, формула (4) справедлива за n = 1 . З припущення, що вона виконується для деякого числа n = m випливає, що вона виконується для n = m + 1 .
Формулу Лейбницю доведено.

приклад

Обчислити n-ю похідну функції
.

Застосуємо формулу Лейбниця
(2) .
У нашому випадку
;
.

За таблицею похідних маємо:
.
Застосовуємо властивості тригонометричних функцій:
.
Тоді
.
Звідси видно, що диференціювання функції синус призводить до зсуву на . Тоді
.

Знаходимо похідні від функції.
;
;
;
, .

Оскільки при , то у формулі Лейбніца відмінні від нуля лише перші три члени. Знаходимо біномні коефіцієнти.
;
.

За формулою Лейбниця маємо:

.

Див. також: