กางเกงปีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน โครงการในหัวข้อ: กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง

ทุกคนรู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาตั้งแต่สมัยเรียน นักคณิตศาสตร์ที่เก่งกาจคนหนึ่งได้พิสูจน์การคาดคะเนที่ยอดเยี่ยมซึ่งหลายคนใช้อยู่ในปัจจุบัน กฎมีลักษณะดังนี้: กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา เป็นเวลาหลายทศวรรษแล้วที่ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนเดียวที่สามารถโต้แย้งกฎนี้ได้ ท้ายที่สุดพีธากอรัสเดินไปตามเป้าหมายเป็นเวลานานดังนั้นภาพวาดจึงเกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน

1. ข้อเล็ก ๆ ของทฤษฎีบทนี้ซึ่งคิดค้นขึ้นหลังจากการพิสูจน์ได้ไม่นาน ได้พิสูจน์คุณสมบัติของสมมติฐานโดยตรง: “ กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทุกทาง" สองบรรทัดนี้ถูกฝากไว้ในความทรงจำของคนจำนวนมาก - จนถึงทุกวันนี้บทกวีนี้ถูกจดจำในการคำนวณ
2. ทฤษฎีบทนี้เรียกว่า "กางเกงพีทาโกรัส" เนื่องจากความจริงที่ว่าเมื่อวาดตรงกลางจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านข้างมีสี่เหลี่ยม รูปลักษณ์นี้คล้ายกับกางเกง - ดังนั้นชื่อของสมมติฐาน
3. พีทาโกรัสภูมิใจในทฤษฎีบทที่พัฒนาขึ้น เนื่องจากสมมติฐานนี้แตกต่างจากสมมติฐานที่คล้ายกันตามจำนวนหลักฐานสูงสุด ข้อสำคัญ: สมการดังกล่าวได้รับการบันทึกใน Guinness Book of Records เนื่องจากมีหลักฐานที่เป็นความจริง 370 รายการ
4. สมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์และอาจารย์จำนวนมากจาก ประเทศต่างๆในหลายวิธี. โจนส์ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ หลังจากการประกาศสมมติฐานได้ไม่นาน ก็ได้พิสูจน์โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์
5. ในปัจจุบันไม่มีใครทราบการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยพีทาโกรัสเอง. ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับการพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันไม่เป็นที่รู้จักของใครเลย มีความเชื่อกันว่าการพิสูจน์ภาพวาดของยุคลิดเป็นหลักฐานของพีทาโกรัส อย่างไรก็ตามนักวิทยาศาสตร์บางคนโต้แย้งกับข้อความนี้: หลายคนเชื่อว่า Euclid พิสูจน์ทฤษฎีบทโดยอิสระโดยไม่ได้รับความช่วยเหลือจากผู้สร้างสมมติฐาน
6. นักวิทยาศาสตร์ในปัจจุบันได้ค้นพบว่านักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ไม่ใช่คนแรกที่ค้นพบสมมติฐานนี้. สมการนี้รู้จักกันมานานก่อนที่พีทาโกรัสจะค้นพบเสียอีก นักคณิตศาสตร์คนนี้สามารถรวมสมมติฐานเข้าด้วยกันได้เท่านั้น
7. ปีทาโกรัสไม่ได้ตั้งชื่อสมการว่า "ทฤษฎีบทปีทาโกรัส". ชื่อนี้ได้รับการแก้ไขหลังจาก "ดังสองบรรทัด" นักคณิตศาสตร์ต้องการให้คนทั้งโลกรับรู้และใช้ความพยายามและการค้นพบของเขาเท่านั้น
8. Moritz Kantor - นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดผู้ยิ่งใหญ่ค้นพบและเห็นบันทึกพร้อมภาพวาดบนต้นกกโบราณ. หลังจากนั้นไม่นาน Cantor ก็ตระหนักว่าทฤษฎีบทนี้เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์ตั้งแต่ 2,300 ปีก่อนคริสตกาล จากนั้นไม่มีใครใช้ประโยชน์จากมันและไม่พยายามพิสูจน์
9. นักวิชาการปัจจุบันเชื่อว่าสมมติฐานนี้เป็นที่รู้จักตั้งแต่ศตวรรษที่ 8 ก่อนคริสต์ศักราช. นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียในเวลานั้นค้นพบการคำนวณโดยประมาณของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก จริงอยู่ในเวลานั้นไม่มีใครสามารถพิสูจน์สมการได้อย่างแน่นอนด้วยการคำนวณโดยประมาณ
10. นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ Bartel van der Waerden หลังจากการพิสูจน์สมมติฐานก็ได้ข้อสรุปที่สำคัญ:“ ข้อดีของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกนั้นไม่ใช่การค้นพบทิศทางและเรขาคณิต แต่เป็นเพียงเหตุผลเท่านั้น ในมือของพีทาโกรัสมีสูตรการคำนวณที่อิงตามสมมติฐาน การคำนวณที่ไม่ถูกต้อง และแนวคิดที่คลุมเครือ อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นสามารถเปลี่ยนมันให้เป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนได้”
11. กวีผู้มีชื่อเสียงคนหนึ่งกล่าวว่าในวันที่ค้นพบภาพวาดของเขา เขาได้สร้างเครื่องบูชาอันน่ายกย่องให้กับวัว. หลังจากการค้นพบสมมติฐานที่มีข่าวลือแพร่สะพัดว่าการสังเวยวัวร้อยตัว "เดินเตร่ไปตามหน้าหนังสือและสิ่งพิมพ์" เป็นเรื่องตลกจนถึงทุกวันนี้ว่าตั้งแต่นั้นมาวัวทุกตัวก็กลัวการค้นพบใหม่
12. ข้อพิสูจน์ว่าพีทาโกรัสไม่ได้แต่งกลอนเกี่ยวกับกางเกงเพื่อพิสูจน์ภาพวาดที่เขาหยิบยกขึ้นมา: ในช่วงชีวิตของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่นั้นยังไม่มีกางเกง. พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นในอีกหลายทศวรรษต่อมา
13. Pekka, Leibniz และนักวิทยาศาสตร์อีกหลายคนพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทที่รู้จักกันก่อนหน้านี้ แต่ไม่มีใครทำสำเร็จ
14. ชื่อภาพวาด "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" แปลว่า "การโน้มน้าวด้วยคำพูด". นี่คือคำแปลของคำว่า Pythagoras ซึ่งนักคณิตศาสตร์ใช้เป็นนามแฝง
15. ภาพสะท้อนของ Pythagoras เกี่ยวกับกฎของเขา: ความลับของสิ่งที่มีอยู่บนโลกคือตัวเลข. ท้ายที่สุด นักคณิตศาสตร์อาศัยสมมติฐานของตนเอง ศึกษาคุณสมบัติของตัวเลข เปิดเผยความเท่าเทียมและความคี่ และสร้างสัดส่วน

เราหวังว่าคุณจะสนุกกับการเลือกรูปภาพ - ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส: เรียนรู้สิ่งใหม่เกี่ยวกับทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง (15 ภาพ) ทางออนไลน์ อย่างดี. กรุณาแสดงความคิดเห็นของคุณในความคิดเห็น! ทุกความคิดเห็นมีความสำคัญต่อเรา

กางเกง Pythagorean ชื่อการ์ตูนของทฤษฎีบท Pythagorean ซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากความจริงที่ว่าสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและแยกออกจากกันในทิศทางที่ต่างกันคล้ายกับการตัดกางเกง ฉันชอบเรขาคณิต ... และตอนสอบเข้ามหาวิทยาลัย ฉันยังได้รับคำชมจากชูมาคอฟ ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ ในการอธิบายคุณสมบัติของ เส้นขนานและกางเกงพีทาโกรัส(N. Pirogov. ไดอารี่ของหมอเก่า).

พจนานุกรมวลีของภาษาวรรณกรรมรัสเซีย - ม.: แอสเทรล, AST. A. I. Fedorov 2551 .

ดูว่า "กางเกงพีทาโกรัส" คืออะไรในพจนานุกรมอื่น ๆ :

กางเกง - รับคูปองส่วนลด SuperStep ที่ใช้งานได้ที่ Akademika หรือซื้อกางเกงราคาถูกพร้อมจัดส่งฟรีที่ SuperStep

กางเกงพีทาโกรัส- ... วิกิพีเดีย

กางเกงพีทาโกรัส- ซาร์ก โรงเรียน รถรับส่ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก รถไฟฟ้า 835... พจนานุกรมขนาดใหญ่คำพูดของรัสเซีย

กางเกงพีทาโกรัส- ชื่อเล่นๆ ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งกำหนดอัตราส่วนระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งดูเหมือนรอยตัดของกางเกงในภาพวาด ... พจนานุกรมของสำนวนมากมาย

กางเกงปีทาโกรัส (ประดิษฐ์)- คนต่างชาติ: เกี่ยวกับคนที่มีพรสวรรค์ Cf. นี่คือความแน่นอนของปราชญ์ ในสมัยโบราณเขาอาจจะประดิษฐ์กางเกงของพีทาโกรัส ... Saltykov ตัวอักษร Motley กางเกงพีทาโกรัส (geom.): ในรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับกำลังสองของขา (การสอน ... ... พจนานุกรมศัพท์เชิงอธิบายขนาดใหญ่ของ Michelson

กางเกงปีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน- ทราบจำนวนปุ่ม ทำไมกระเจี๊ยวเป็นตะคริว? (ประมาณ) เกี่ยวกับกางเกงในและอวัยวะเพศของผู้ชาย กางเกงปีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้จำเป็นต้องถอดและแสดง 1) เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส 2) เกี่ยวกับกางเกงขากว้าง ... คำพูดสด พจนานุกรมสำนวนภาษาพูด

กางเกงพีทาโกรัสประดิษฐ์-กางเกงปีทาโกรัส(ประดิษฐ์)ฝรั่ง. เกี่ยวกับคนที่มีพรสวรรค์ พุธ นี่คือปราชญ์ที่ไม่ต้องสงสัย ในสมัยโบราณเขาอาจจะประดิษฐ์กางเกงของพีทาโกรัส ... Saltykov ตัวอักษร Motley กางเกงปีทาโกรัส (geom.): ในสี่เหลี่ยมผืนผ้า, สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉาก ... ... พจนานุกรมวลีเชิงอธิบายขนาดใหญ่ของ Michelson (ตัวสะกดดั้งเดิม)

กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง- ล้อเล่นพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส; ยังล้อเล่นเรื่องกางเกงทรงหลวมๆ ของบัดดี้... พจนานุกรมวลีพื้นบ้าน

ก. หยาบคาย...

กางเกงปีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน (ทราบจำนวนปุ่มแล้ว ทำไมจึงปิด / เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ จำเป็นต้องถอดและแสดง)- adj. หยาบคาย ... พจนานุกรมคำอธิบายของหน่วยวลีและคำพูดภาษาพูดสมัยใหม่

กางเกง- คำนาม pl. ใช้ คอมพ์ มักจะ สัณฐานวิทยา: pl. อะไร? กางเกง (ไม่) อะไรนะ? กางเกงเพื่ออะไร กางเกง (ดู) อะไรนะ? กางเกงอะไร กางเกงอะไร เกี่ยวกับกางเกง 1. กางเกง เป็นเสื้อผ้าที่มีขาสั้นหรือยาว 2 ข้าง และปิดท่อนล่าง ... ... พจนานุกรมของ Dmitriev

หนังสือ

• กางเกงพีทาโกรัส. ในหนังสือเล่มนี้คุณจะพบกับแฟนตาซีและการผจญภัย ปาฏิหาริย์และนิยาย ตลกและเศร้า ธรรมดาและลึกลับ... แล้วอะไรที่จำเป็นสำหรับการอ่านเพื่อความบันเทิง? สิ่งสำคัญคือต้อง…

วิทรูเวียส สถาปนิกชาวโรมันได้แยกทฤษฎีบทพีทาโกรัส "จากการค้นพบมากมายที่เป็นประโยชน์ต่อการพัฒนาชีวิตมนุษย์" และเรียกร้องให้ปฏิบัติด้วยความเคารพอย่างสูงสุด มันอยู่ในศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช อี ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 16-17 นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Johannes Kepler เรียกมันว่าเป็นหนึ่งในสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตซึ่งเปรียบได้กับทองคำหนึ่งหน่วย ไม่น่าเป็นไปได้ที่ในคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะมีข้อความที่มีน้ำหนักและมีนัยสำคัญมากกว่านี้ เพราะในแง่ของจำนวนการใช้งานทางวิทยาศาสตร์และภาคปฏิบัติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่เท่ากัน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

วิทยาศาสตร์กับชีวิต // ภาพประกอบ

ภาพประกอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากบทความเรื่องเสาวัด (จีน ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) และหลักฐานที่สร้างขึ้นใหม่บนพื้นฐาน

วิทยาศาสตร์กับชีวิต // ภาพประกอบ

เอส. เพอร์กินส์. พีทาโกรัส.

การวาดภาพเพื่อพิสูจน์ความเป็นไปได้ของพีทาโกรัส

"โมเสกของพีทาโกรัส" และการแบ่งอัน-ไนริซีของสามกำลังสองในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พี เดอ โฮค นายหญิงและแม่บ้านในลานบ้าน ประมาณ 1660

I. โอเทอร์เวลต์ นักดนตรีพเนจรที่ประตูบ้านเศรษฐี. 1665.

กางเกงพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นที่รู้จักมากที่สุดและมีชื่อเสียงที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย ในเรขาคณิต จะใช้ตามตัวอักษรในทุกขั้นตอน แม้จะมีความเรียบง่ายของสูตร แต่ทฤษฎีบทนี้ก็ไม่ชัดเจน: การดูสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза พื้นที่มากขึ้นจัตุรัสแห่งนี้ ความจริงแล้ว เหตุผลของเขามีจุดประสงค์เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แม้ว่าจะเป็นสามเหลี่ยมที่เฉพาะเจาะจงก็ตาม

ตัวเลขที่ปรากฎในรูป 1 และ 2 มีลักษณะคล้ายกับเครื่องประดับสี่เหลี่ยมที่ง่ายที่สุดและมีส่วนเท่าๆ กัน ซึ่งเป็นรูปแบบทางเรขาคณิตที่รู้จักกันมาตั้งแต่ไหนแต่ไร พวกมันสามารถครอบคลุมระนาบได้อย่างสมบูรณ์ นักคณิตศาสตร์จะเรียกสิ่งปกคลุมระนาบที่มีรูปหลายเหลี่ยมว่า ไม้ปาร์เก้ หรือการปูกระเบื้อง ทำไมพีทาโกรัสถึงอยู่ที่นี่? ปรากฎว่าเขาเป็นคนแรกที่แก้ปัญหาไม้ปาร์เก้ปกติซึ่งเริ่มศึกษาการปูกระเบื้องของพื้นผิวต่างๆ ดังนั้น พีทาโกรัสจึงแสดงให้เห็นว่าระนาบรอบๆ จุดหนึ่งๆ สามารถครอบคลุมได้โดยไม่มีช่องว่างด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่าๆ กันเท่านั้น สามประเภท: สามเหลี่ยม 6 รูป สี่เหลี่ยม 4 รูป และรูปหกเหลี่ยม 3 รูป

4000 ปีต่อมา

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสย้อนกลับไปในสมัยโบราณ การกล่าวถึงนี้มีอยู่ในตำรารูปแบบบาบิโลนในสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบี (ศตวรรษที่ 18 ก่อนคริสต์ศักราช) นั่นคือ 1,200 ปีก่อนกำเนิดของพีทาโกรัส ทฤษฎีบทถูกนำไปใช้เป็นกฎสำเร็จรูปในหลายๆ ปัญหา วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ด้านข้าง เป็นไปได้ว่าความสัมพันธ์ a 2 + b 2 = c 2 สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยพลการนั้นได้มาจากชาวบาบิโลนโดยการ "สรุป" ความเท่าเทียมกันของ a 2 + a 2 = c 2 . แต่นี่เป็นข้อแก้ตัวสำหรับพวกเขา - สำหรับรูปทรงเรขาคณิตเชิงปฏิบัติของสมัยโบราณซึ่งลดลงเหลือการวัดและการคำนวณไม่จำเป็นต้องให้เหตุผลอย่างเข้มงวด

ตอนนี้ เกือบ 4,000 ปีต่อมา เรากำลังเผชิญกับทฤษฎีบทที่ทำลายสถิติในแง่ของจำนวนการพิสูจน์ที่เป็นไปได้ โดยวิธีการสะสมของพวกเขาเป็นประเพณีที่ยาวนาน จุดสูงสุดของความสนใจในทฤษฎีบทพีทาโกรัสลดลงในครั้งที่สอง ครึ่งหนึ่งของ XIX- จุดเริ่มต้นของศตวรรษที่ XX และหากการรวบรวมครั้งแรกมีหลักฐานไม่เกินสองหรือสามโหล ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 จำนวนของพวกเขาจะเข้าใกล้ 100 และหลังจากนั้นอีกครึ่งศตวรรษก็เกิน 360 และสิ่งเหล่านี้เป็นเพียงการรวบรวมจากต่างๆ แหล่งที่มา ใครบ้างที่ไม่ยอมรับวิธีแก้ปัญหาของงานอมตะนี้ - ตั้งแต่นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงและผู้นิยมวิทยาศาสตร์ไปจนถึงสมาชิกรัฐสภาและเด็กนักเรียน และสิ่งที่น่าทึ่งในความแปลกใหม่และความเรียบง่ายของการแก้ปัญหา มือสมัครเล่นคนอื่นๆ ก็ไม่ได้ด้อยกว่ามืออาชีพ!

ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เก่าแก่ที่สุดที่มาถึงเราคือประมาณ 2,300 ปี หนึ่งในนั้นคือความจริงที่เข้มงวด - เป็นของ Euclid นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 4-3 ก่อนคริสต์ศักราช อี ใน Book I of the Elements ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุไว้เป็นโจทย์ 47 การพิสูจน์ด้วยภาพและสวยงามที่สุดเกิดจากการวาด "กางเกงปีทาโกรัส" ขึ้นมาใหม่ พวกมันดูเหมือนปริศนาตัดสี่เหลี่ยมอันชาญฉลาด แต่ทำให้ตัวเลขเคลื่อนไหวอย่างถูกต้อง - และพวกเขาจะเปิดเผยความลับของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงให้คุณทราบ

นี่คือหลักฐานอันสง่างามที่ได้รับจากภาพวาดจากตำราจีนโบราณเล่มหนึ่ง (รูปที่ 3) และความเชื่อมโยงกับปัญหาการเพิ่มพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสองเท่านั้นชัดเจนในทันที

นี่เป็นข้อพิสูจน์ว่า Guido วัย 7 ขวบ ฮีโร่ผู้มีดวงตาสดใสของเรื่องสั้นเรื่อง Little Archimedes ของนักเขียนชาวอังกฤษ Aldous Huxley พยายามอธิบายให้เพื่อนที่อายุน้อยกว่าของเขาฟัง เป็นเรื่องน่าแปลกที่ผู้บรรยายซึ่งสังเกตภาพนี้สังเกตเห็นความเรียบง่ายและโน้มน้าวใจของหลักฐานและด้วยเหตุนี้จึงนำมาประกอบกับ ... พีธากอรัสเอง แต่ ตัวละครหลักเรื่องราวอันน่าอัศจรรย์ของ Evgeny Velistov "Electronics - a boy from a suitcase" รู้ข้อพิสูจน์ 25 ข้อของทฤษฎีบทพีทาโกรัส รวมทั้งข้อพิสูจน์ที่ Euclid ให้ไว้; จริงอยู่ที่เขาเรียกมันว่าง่ายที่สุดโดยไม่ตั้งใจแม้ว่าในความเป็นจริงแล้วใน Beginnings ฉบับสมัยใหม่จะมีหนึ่งหน้าครึ่งก็ตาม!

นักคณิตศาสตร์คนแรก

พีทาโกรัสแห่งซามอส (570-495 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งชื่อนี้เชื่อมโยงกับทฤษฎีบทที่น่าทึ่งอย่างแยกไม่ออกมาอย่างยาวนาน เรียกได้ว่าเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรก มันมาจากเขาว่าคณิตศาสตร์เริ่มต้นเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนซึ่งความรู้ใหม่ ๆ ไม่ได้เป็นผลมาจากการแสดงภาพและกฎที่เรียนรู้จากประสบการณ์ แต่เป็นผลมาจากการใช้เหตุผลเชิงตรรกะและข้อสรุป นี่เป็นวิธีเดียวที่จะสร้างความจริงทั้งหมดของประพจน์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ก่อนพีทาโกรัส วิธีการนิรนัยถูกใช้โดยนักปรัชญาและนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณอย่างทาเลสแห่งมิเลทัสเท่านั้น ซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 7-6 ก่อนคริสต์ศักราช อี เขาแสดงแนวคิดในการพิสูจน์ แต่ใช้อย่างไม่เป็นระบบ คัดเลือก ตามกฎ กับข้อความทางเรขาคณิตที่ชัดเจน เช่น "เส้นผ่านศูนย์กลางแบ่งครึ่งวงกลม" พีทาโกรัสไปไกลกว่านั้นมาก เชื่อกันว่าเขาได้แนะนำคำจำกัดความ สัจพจน์ และวิธีการพิสูจน์ข้อแรก และยังสร้างหลักสูตรแรกในวิชาเรขาคณิต ซึ่งเป็นที่รู้จักของชาวกรีกโบราณภายใต้ชื่อ "The Tradition of Pythagoras" และเขายืนอยู่ที่จุดกำเนิดของทฤษฎีจำนวนและสามมิติ

ข้อดีที่สำคัญอีกประการหนึ่งของพีทาโกรัสคือรากฐานของโรงเรียนคณิตศาสตร์อันรุ่งโรจน์ซึ่งเป็นเวลากว่าศตวรรษที่กำหนดการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้ใน กรีกโบราณ. คำว่า "คณิตศาสตร์" นั้นเกี่ยวข้องกับชื่อของเขาด้วย (จากคำภาษากรีก μαθημa - การสอน, วิทยาศาสตร์) ซึ่งรวมเอาสี่สาขาวิชาที่เกี่ยวข้องซึ่งสร้างโดย Pythagoras และผู้ติดตามของเขา - Pythagoreans - ระบบความรู้: เรขาคณิต เลขคณิต ดาราศาสตร์ และ ฮาร์มอนิก

เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกความสำเร็จของ Pythagoras ออกจากความสำเร็จของนักเรียน: ตามประเพณี พวกเขาให้แนวคิดและการค้นพบของตนเองกับครูของตน ชาวปีทาโกรัสยุคแรกไม่ได้ทิ้งงานเขียนใด ๆ พวกเขาส่งข้อมูลทั้งหมดให้กันและกันด้วยปากเปล่า ดังนั้น 2,500 ปีต่อมา นักประวัติศาสตร์จึงไม่มีทางเลือกนอกจากต้องสร้างความรู้ที่สูญหายขึ้นใหม่ตามการถอดความของผู้เขียนคนอื่นๆ ในภายหลัง ขอให้เราให้เครดิตกับชาวกรีก: แม้ว่าพวกเขาจะล้อมรอบชื่อของพีธากอรัสด้วยตำนานมากมาย แต่พวกเขาก็ไม่ได้อ้างถึงสิ่งที่เขาไม่สามารถค้นพบหรือพัฒนาเป็นทฤษฎีได้ และทฤษฎีบทที่มีชื่อของเขาก็ไม่มีข้อยกเว้น

หลักฐานง่ายๆ แบบนี้

ไม่มีใครรู้ว่าพีทาโกรัสค้นพบอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเองหรือยืมความรู้นี้มา นักเขียนโบราณอ้างว่าตัวเขาเองและชอบที่จะเล่าขานตำนานอีกครั้งว่าพีธากอรัสเสียสละวัวเพื่อเป็นเกียรติแก่การค้นพบของเขาอย่างไร นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่มีแนวโน้มที่จะเชื่อว่าเขาได้เรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทโดยทำความคุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลน เราไม่รู้ด้วยว่าพีทาโกรัสกำหนดทฤษฎีบทในรูปแบบใด: ในทางเลขคณิตตามธรรมเนียมในปัจจุบัน กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา หรือในทางเรขาคณิตตามจิตวิญญาณของคนสมัยก่อน จัตุรัสที่สร้างขึ้น ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่สร้างบนสเก็ตของเขา

มีความเชื่อกันว่าเป็นพีทาโกรัสที่พิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อของเขาเป็นครั้งแรก มันไม่รอดแน่นอน ตามเวอร์ชันหนึ่ง พีทาโกรัสสามารถใช้หลักคำสอนเรื่องสัดส่วนที่พัฒนาขึ้นในโรงเรียนของเขาได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีความคล้ายคลึงกันซึ่งมีพื้นฐานมาจากการใช้เหตุผล ลองวาดความสูงของด้านตรงข้ามมุมฉาก c ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a และ b เราได้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสามรูป รวมทั้งรูปสามเหลี่ยมดั้งเดิมด้วย ด้านที่เกี่ยวข้องเป็นสัดส่วน a: c = m: a และ b: c = n: b ดังนั้น a 2 = c · m และ b 2 = c · n จากนั้น a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (รูปที่ 4)

นี่เป็นเพียงการสร้างใหม่ที่เสนอโดยหนึ่งในนักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ แต่คุณเห็นว่าการพิสูจน์นั้นค่อนข้างง่าย: ใช้เพียงไม่กี่บรรทัด คุณไม่จำเป็นต้องสร้างให้เสร็จ ปรับแต่งใหม่ คำนวณอะไรเลย ... มันคือ ไม่น่าแปลกใจที่มีการค้นพบซ้ำมากกว่าหนึ่งครั้ง ตัวอย่างเช่น มันมีอยู่ใน "การปฏิบัติของเรขาคณิต" โดยเลโอนาร์โดแห่งปิซา (1220) และยังคงมีอยู่ในตำราเรียน

หลักฐานดังกล่าวไม่ได้ขัดแย้งกับแนวคิดของพีทาโกรัสเกี่ยวกับความสมส่วน: ในขั้นต้นพวกเขาเชื่อว่าอัตราส่วนของความยาวของสองส่วนใดๆ และด้วยเหตุนี้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถแสดงได้โดยใช้จำนวนธรรมชาติ พวกเขาไม่ได้พิจารณาตัวเลขอื่น ๆ ไม่อนุญาตให้มีเศษส่วนแทนที่ด้วยอัตราส่วน 1: 2, 2: 3 ฯลฯ อย่างไรก็ตามแดกดันทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่นำชาวพีทาโกรัสไปสู่การค้นพบความไม่เท่ากันของเส้นทแยงมุม ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและด้านข้าง ความพยายามทั้งหมดเพื่อแสดงความยาวของเส้นทแยงมุมนี้เป็นตัวเลข - สำหรับหน่วยกำลังสองเท่ากับ √2 - ไม่ได้นำไปสู่อะไรเลย มันง่ายกว่าที่จะพิสูจน์ว่าปัญหานั้นไม่สามารถแก้ไขได้ ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์มีวิธีการพิสูจน์ - พิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง โดยวิธีการนี้ยังมีสาเหตุมาจากพีธากอรัส

การมีอยู่ของความสัมพันธ์ที่ไม่ได้แสดงด้วยจำนวนตามธรรมชาติทำให้ความคิดหลายอย่างของพีทาโกรัสยุติลง เห็นได้ชัดว่าตัวเลขที่พวกเขารู้ไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาง่ายๆ แม้แต่เรขาคณิตก็ไม่พูดถึง! การค้นพบนี้เป็นจุดเปลี่ยนในการพัฒนาคณิตศาสตร์กรีก ซึ่งเป็นปัญหาหลัก ประการแรก มันนำไปสู่การพัฒนาหลักคำสอนเรื่องปริมาณที่หาค่าไม่ได้ - ความไม่ลงตัว และจากนั้นก็ขยายแนวคิดเรื่องจำนวน กล่าวอีกนัยหนึ่งประวัติศาสตร์เก่าแก่หลายศตวรรษของการศึกษาชุดของจำนวนจริงเริ่มต้นที่ตัวเขา

โมเสกของพีทาโกรัส

หากคุณปูระนาบด้วยสี่เหลี่ยมสองขนาดที่แตกต่างกัน โดยล้อมรอบสี่เหลี่ยมเล็กๆ แต่ละอันด้วยสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่สี่อัน คุณจะได้ปาร์เกต์โมเสกแบบปีทาโกรัส รูปแบบดังกล่าวมีพื้นหินประดับประดาเป็นแนวยาว ชวนให้นึกถึงบทพิสูจน์โบราณของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (จึงเป็นชื่อของมัน) ด้วยการกำหนดตารางสี่เหลี่ยมบนไม้ปาร์เก้ด้วยวิธีต่างๆ เราสามารถหาพาร์ติชันของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเสนอโดยนักคณิตศาสตร์หลายคน ตัวอย่างเช่น หากคุณจัดตารางให้โหนดทั้งหมดตรงกับจุดยอดขวาบนของสี่เหลี่ยมเล็กๆ เศษของภาพวาดจะปรากฏขึ้นเพื่อพิสูจน์โดย an-Nairizi นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียยุคกลาง ซึ่งเขาใส่ไว้ในความคิดเห็นถึง Euclid's “หลักการ”. มันง่ายที่จะเห็นว่าผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่และขนาดเล็กซึ่งเป็นองค์ประกอบเริ่มต้นของไม้ปาร์เก้นั้นเท่ากับพื้นที่หนึ่งตารางของตารางที่ซ้อนทับอยู่ และนั่นหมายความว่าพาร์ติชันที่ระบุนั้นเหมาะสำหรับการวางไม้ปาร์เก้: โดยการเชื่อมต่อรูปหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเป็นสี่เหลี่ยมดังที่แสดงในรูปคุณสามารถเติมระนาบทั้งหมดโดยไม่มีช่องว่างและทับซ้อนกัน

ศักยภาพในการสร้างสรรค์มักเกิดจากมนุษยศาสตร์ ทิ้งการวิเคราะห์ทางวิทยาศาสตร์ตามธรรมชาติ วิธีการปฏิบัติ และภาษาที่แห้งแล้งของสูตรและตัวเลข คณิตศาสตร์ไม่สามารถจัดอยู่ในกลุ่มวิชามนุษยศาสตร์ได้ แต่ถ้าปราศจากความคิดสร้างสรรค์ใน "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" คุณจะไปได้ไม่ไกล - ผู้คนรู้เรื่องนี้มานานแล้ว ตั้งแต่สมัยพีทาโกรัส เป็นต้น

น่าเสียดายที่หนังสือเรียนในโรงเรียนมักจะไม่อธิบายว่าในวิชาคณิตศาสตร์นั้นมีความสำคัญไม่เพียงแต่จะต้องยัดเยียดทฤษฎีบท สัจพจน์ และสูตรเท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจและรู้สึกถึงหลักการพื้นฐาน และในเวลาเดียวกัน พยายามปลดปล่อยความคิดของคุณจากความคิดโบราณและความจริงพื้นฐาน - เฉพาะในเงื่อนไขดังกล่าวเท่านั้นที่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ทั้งหมดจะเกิดขึ้น

การค้นพบดังกล่าวรวมถึงสิ่งที่เรารู้จักในชื่อทฤษฎีบทพีทาโกรัสในปัจจุบัน ด้วยความช่วยเหลือ เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่ทำได้ แต่ควรสนุกด้วย และการผจญภัยครั้งนี้ไม่เหมาะสำหรับเด็กเนิร์ดที่ใส่แว่นหนาเตอะเท่านั้น แต่ยังเหมาะกับทุกคนที่มีจิตใจแข็งแกร่งและแข็งแกร่งด้วยจิตวิญญาณ

จากประวัติของปัญหา

พูดอย่างเคร่งครัด แม้ว่าทฤษฎีบทจะเรียกว่า "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" แต่พีทาโกรัสเองก็ไม่ได้ค้นพบมัน สามเหลี่ยมมุมฉากและคุณสมบัติพิเศษของมันได้รับการศึกษามานานก่อนหน้านั้นแล้ว มีมุมมองสองขั้วในเรื่องนี้ ตามเวอร์ชันหนึ่ง พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่ค้นพบการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สมบูรณ์ ข้อพิสูจน์ไม่ได้เป็นของผู้ประพันธ์พีทาโกรัส

วันนี้คุณไม่สามารถตรวจสอบได้อีกต่อไปว่าใครถูกและใครผิด เป็นที่ทราบกันแต่เพียงว่าหลักฐานของพีทาโกรัสหากเคยมีอยู่จริงก็ไม่รอด อย่างไรก็ตาม มีข้อเสนอแนะว่าหลักฐานที่มีชื่อเสียงจาก Euclid's Elements อาจเป็นของ Pythagoras และ Euclid บันทึกไว้เท่านั้น

เป็นที่ทราบกันดีในปัจจุบันว่าปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากพบในแหล่งที่มาของอียิปต์ตั้งแต่สมัยฟาโรห์อเมเนมเฮตที่ 1 บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนจากรัชสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบี ในตำรา Sulva Sutra ของอินเดียโบราณ และงานจีนโบราณ Zhou -บีสวนจิน

อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอยู่ในความคิดของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ หลักฐานต่าง ๆ ประมาณ 367 ชิ้นที่มีอยู่ในปัจจุบันเป็นเครื่องยืนยัน ไม่มีทฤษฎีบทอื่นที่สามารถแข่งขันในเรื่องนี้ได้ ผู้เขียนหลักฐานที่มีชื่อเสียง ได้แก่ เลโอนาร์โด ดาวินชี และเจมส์ การ์ฟิลด์ ประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา ทั้งหมดนี้พูดถึงความสำคัญอย่างยิ่งยวดของทฤษฎีบทนี้สำหรับคณิตศาสตร์: ทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่ได้มาจากทฤษฎีบทนี้หรือเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทนี้ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หนังสือเรียนส่วนใหญ่ให้การพิสูจน์เกี่ยวกับพีชคณิต แต่สาระสำคัญของทฤษฎีบทนั้นอยู่ในรูปทรงเรขาคณิต ดังนั้นก่อนอื่นเรามาพิจารณาการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงซึ่งมีพื้นฐานมาจากวิทยาศาสตร์นี้ก่อน

หลักฐาน 1

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ง่ายที่สุดสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณต้องตั้งเงื่อนไขในอุดมคติ: อย่าให้สามเหลี่ยมเป็นมุมฉากเท่านั้น แต่ยังรวมถึงหน้าจั่วด้วย มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่ามันเป็นรูปสามเหลี่ยมที่นักคณิตศาสตร์โบราณพิจารณา

คำแถลง "สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาของมัน"สามารถแสดงด้วยภาพวาดต่อไปนี้:

ดูสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC หน้าจั่ว: บนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่รูปเท่ากับ ABC ดั้งเดิม และบนขา AB และ BC สร้างขึ้นบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งแต่ละอันมีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสองรูป

ภาพวาดนี้เป็นพื้นฐานของเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยและการ์ตูนมากมายที่อุทิศให้กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส บางทีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ "กางเกงปีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง":

หลักฐาน 2

วิธีนี้เป็นการรวมพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน และอาจถูกมองว่าแตกต่างจากการพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ Bhaskari ในอินเดียโบราณ

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน ก ข และ ค(รูปที่ 1) จากนั้นสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่มีด้านเท่ากับผลรวมของความยาวของขาทั้งสอง - (ก+ข). สร้างสิ่งก่อสร้างในแต่ละช่องสี่เหลี่ยมดังรูปที่ 2 และ 3

ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ให้สร้างสามเหลี่ยมสี่รูปที่เหมือนกันในรูปที่ 1 เป็นผลให้ได้สี่เหลี่ยมสองอัน: หนึ่งมีด้าน a ที่สองมีด้าน ข.

ในตารางที่สอง รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสี่รูปสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นในรูปที่ 2 เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เราสร้างด้วยด้าน c ในรูปที่ 3 สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ โดยการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมในรูป 2 ตามสูตร. และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในรูปที่ 3 โดยการลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสี่มุมฉากที่เท่ากันซึ่งจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีด้าน (ก+ข).

วางทั้งหมดนี้ลง เรามี: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. ขยายวงเล็บ ทำการคำนวณเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นทั้งหมดและรับสิ่งนั้น ก 2 + ข 2 = ก 2 + ข 2. ในขณะเดียวกันพื้นที่ของจารึกในรูปที่ 3 สแควร์สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรดั้งเดิม S=c2. เหล่านั้น. a2+b2=c2คุณได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว

หลักฐาน 3

บทพิสูจน์ของอินเดียโบราณที่เหมือนกันมากอธิบายไว้ในศตวรรษที่ 12 ในตำรา "มงกุฎแห่งความรู้" ("Siddhanta Shiromani") และเป็นข้อโต้แย้งหลัก ผู้เขียนใช้คำอุทธรณ์ที่ส่งถึงความสามารถทางคณิตศาสตร์และพลังในการสังเกตของนักเรียนและ ผู้ติดตาม: “ดูสิ!”

แต่เราจะวิเคราะห์หลักฐานนี้โดยละเอียด:

ภายในสี่เหลี่ยม ให้สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปตามที่ระบุในรูปวาด ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ซึ่งก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากเช่นกัน กับ. เรียกขาของสามเหลี่ยม กและ ข. ตามรูปวาด ด้านของสี่เหลี่ยมด้านในคือ (ก-ข).

ใช้สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส S=c2เพื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านนอก และในขณะเดียวกันก็คำนวณค่าเดียวกันโดยการเพิ่มพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านในและพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสี่: (ก-ข) 2 2+4*1\2*ก*ข.

คุณสามารถใช้ทั้งสองตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อให้แน่ใจว่าให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน และนั่นทำให้คุณมีสิทธิ์เขียนลงไป c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. จากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา คุณจะได้สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส c2=a2+b2. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐาน 4

หลักฐานจีนโบราณที่น่าสงสัยนี้เรียกว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" - เนื่องจากรูปร่างคล้ายเก้าอี้ซึ่งเป็นผลมาจากการก่อสร้างทั้งหมด:

มันใช้ภาพวาดที่เราได้เห็นแล้วในรูปที่ 3 ในการพิสูจน์ครั้งที่สอง และจัตุรัสด้านในที่มีด้าน c ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับการพิสูจน์ของอินเดียโบราณที่ให้ไว้ข้างต้น

หากคุณตัดสามเหลี่ยมมุมฉากสีเขียวสองอันออกจากภาพวาดในรูปที่ 1 ให้โอนไปยัง ฝั่งตรงข้ามแนบสี่เหลี่ยมด้าน c และด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมสีม่วง คุณจะได้รูปที่เรียกว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว" (รูปที่ 2) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถทำเช่นเดียวกันกับกระดาษสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม คุณจะเห็นว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว" ประกอบขึ้นด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอัน: อันเล็กที่มีด้านข้าง ขและใหญ่ด้วยด้านข้าง ก.

สิ่งก่อสร้างเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์จีนโบราณและพวกเราที่ติดตามพวกเขาได้ข้อสรุปว่า c2=a2+b2.

หลักฐาน 5

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการหาคำตอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามรูปทรงเรขาคณิต เรียกว่าวิธีการ์ฟิลด์

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซี. เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ก่อนคริสต์ศักราช 2 \u003d AC 2 + AB 2.

ในการทำเช่นนี้ให้ทำต่อที่ขา เครื่องปรับอากาศและสร้างส่วน ซีดีซึ่งเท่ากับขา เอบี. ตั้งฉากด้านล่าง ค.ศส่วนของเส้น เอ็ด. กลุ่ม เอ็ดและ เครื่องปรับอากาศมีความเท่าเทียมกัน เชื่อมต่อจุด อีและ ที่เช่นเดียวกับ อีและ จากและได้รับภาพวาดดังภาพด้านล่าง:

ในการพิสูจน์หอคอย เราใช้วิธีที่เราได้ทดสอบไปแล้วอีกครั้ง: เราหาพื้นที่ของผลลัพธ์ที่ได้ในสองวิธีและเทียบนิพจน์ซึ่งกันและกัน

ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม เตียงสามารถทำได้โดยการเพิ่มพื้นที่ของสามเหลี่ยมสามรูปที่ประกอบกัน และหนึ่งในนั้น ศอ.บต, ไม่ใช่แค่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้น แต่ยังรวมถึงหน้าจั่วด้วย อย่าลืมว่า เอบี=ซีดี, AC = เอ็ดและ คริสตศักราช=ค.ศ- สิ่งนี้จะช่วยให้เราลดความซับซ้อนของการบันทึกและไม่โอเวอร์โหลด ดังนั้น, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

ในขณะเดียวกันก็เห็นได้ชัดว่า เตียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร: SABED=(DE+AB)*1/2AD. สำหรับการคำนวณของเรา การแสดงกลุ่มจะสะดวกและชัดเจนกว่า ค.ศเป็นผลรวมของส่วน เครื่องปรับอากาศและ ซีดี.

ลองเขียนทั้งสองวิธีในการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างพวกเขา: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). เราใช้ความเท่าเทียมกันของส่วนที่เราทราบอยู่แล้วและอธิบายไว้ข้างต้นเพื่อทำให้ด้านขวามือของสัญกรณ์ง่ายขึ้น: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. และตอนนี้เราเปิดวงเล็บและแปลงความเท่าเทียมกัน: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. เมื่อเสร็จสิ้นการแปลงทั้งหมดแล้ว เราได้สิ่งที่ต้องการ: ก่อนคริสต์ศักราช 2 \u003d AC 2 + AB 2. เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบท

แน่นอนว่ารายการหลักฐานนี้ยังไม่สมบูรณ์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์สามมิติ ฯลฯ และแม้แต่นักฟิสิกส์: ตัวอย่างเช่น ถ้าของเหลวถูกเทลงในปริมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมคล้ายกับที่แสดงในภาพวาด การเทของเหลวทำให้สามารถพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของพื้นที่และผลจากทฤษฎีบทได้

คำสองสามคำเกี่ยวกับแฝดสามของพีทาโกรัส

ปัญหานี้มีน้อยหรือไม่ได้ศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียน ในขณะเดียวกันก็น่าสนใจมากและมีความสำคัญอย่างยิ่งในรูปทรงเรขาคณิต พีทาโกรัสสามเท่าใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมาย แนวคิดของพวกเขาอาจเป็นประโยชน์กับคุณในการศึกษาต่อ

แล้วแฝดสามของพีทาโกรัสคืออะไร? เรียกว่า จำนวนธรรมชาติ ซึ่งรวบรวมเป็นสามส่วน ผลรวมของกำลังสองของสองจำนวนนั้นเท่ากับจำนวนที่สามกำลังสอง

พีทาโกรัสสามเท่าสามารถ:

• ดั้งเดิม (ตัวเลขทั้งสามนั้นค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ);
• ไม่ดั้งเดิม (ถ้าแต่ละจำนวนของสามเท่าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้สามเท่าใหม่ที่ไม่ใช่ดั้งเดิม)

ก่อนยุคของเรา ชาวอียิปต์โบราณหลงใหลในจำนวนแฝดสามของพีทาโกรัส ในงานต่างๆ พวกเขาพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3.4 และ 5 หน่วย ยังไงก็ตาม สามเหลี่ยมใดๆ ที่ด้านข้างเท่ากับตัวเลขจากสามเท่าของพีทาโกรัสจะเป็นสี่เหลี่ยมตามค่าเริ่มต้น

ตัวอย่างของจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัส: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) เป็นต้น

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบการประยุกต์ใช้ไม่เพียงแต่ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง ดาราศาสตร์ และแม้แต่วรรณคดีด้วย

อันดับแรกเกี่ยวกับการก่อสร้าง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบในนั้น แอพพลิเคชั่นกว้างในงาน ระดับที่แตกต่างกันความยากลำบาก ตัวอย่างเช่น ดูที่หน้าต่างแบบโรมาเนสก์:

แสดงความกว้างของหน้าต่างเป็น ขจากนั้นรัศมีของครึ่งวงกลมใหญ่สามารถแสดงเป็น รและแสดงออกผ่าน b: R=b/2. รัศมีของครึ่งวงกลมที่เล็กกว่าสามารถแสดงในรูปของ b: r=b/4. ในปัญหานี้เราสนใจรัศมีของวงในของหน้าต่าง (ขอเรียกว่า หน้า).

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์ในการคำนวณ ร. ในการทำเช่นนี้เราใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งระบุด้วยเส้นประในรูป ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมประกอบด้วยสองรัศมี: ข/4+น. ขาข้างหนึ่งเป็นรัศมี ข/4, อื่น ข/2-ป. โดยใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราเขียนว่า (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. ต่อไปเราจะเปิดวงเล็บและรับ ข 2/16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2/16 + b 2/4-bp + p 2. ลองแปลงนิพจน์นี้เป็น bp/2=b 2 /4-bp. จากนั้นเราแบ่งเงื่อนไขทั้งหมดออกเป็น ขเราให้สิ่งที่คล้ายกันเพื่อรับ 3/2*p=b/4. และในที่สุดเราก็พบว่า พี=b/6- ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ

เมื่อใช้ทฤษฎีบทคุณสามารถคำนวณความยาวของจันทันสำหรับหลังคาจั่วได้ กำหนดความสูงของหอเคลื่อนที่เพื่อให้สัญญาณไปถึงระดับหนึ่ง ท้องที่. และติดตั้งได้อย่างเสถียร ต้นคริสต์มาสในจัตุรัสกลางเมือง อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่อยู่บนหน้าหนังสือเรียนเท่านั้น แต่มักจะมีประโยชน์ในชีวิตจริงด้วย

เท่าที่เกี่ยวข้องกับวรรณกรรม ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นแรงบันดาลใจให้นักเขียนตั้งแต่สมัยโบราณและยังคงเป็นเช่นนั้นมาจนถึงทุกวันนี้ ตัวอย่างเช่น Adelbert von Chamisso นักเขียนชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 19 ได้รับแรงบันดาลใจจากเธอให้เขียนโคลง:

แสงสว่างแห่งความจริงจะไม่มอดดับไปในไม่ช้า
แต่เมื่อส่องแสงก็ไม่น่าจะสลายไป
และเช่นเดียวกับเมื่อหลายพันปีก่อน
จะไม่ทำให้เกิดความสงสัยและข้อโต้แย้ง.

ฉลาดที่สุดเมื่อสัมผัสตา
แสงแห่งความจริง ขอบคุณพระเจ้า
และวัวร้อยตัวถูกแทงโกหก -
ของขวัญที่กลับมาของพีทาโกรัสผู้โชคดี

ตั้งแต่นั้นมาวัวก็คำรามอย่างสิ้นหวัง:
กระตุ้นเผ่าวัวตลอดไป
เหตุการณ์ที่กล่าวถึงที่นี่

พวกเขาคิดว่ามันถึงเวลาแล้ว
และอีกครั้งพวกเขาจะเสียสละ
ทฤษฎีบทที่ยอดเยี่ยมบางอย่าง

(แปลโดย Viktor Toporov)

และในศตวรรษที่ 20 Yevgeny Veltistov นักเขียนชาวโซเวียตในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ได้อุทิศบททั้งหมดให้กับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และครึ่งบทของเรื่องราวเกี่ยวกับโลกสองมิติที่สามารถดำรงอยู่ได้หากทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นกฎพื้นฐานและแม้กระทั่งศาสนาสำหรับโลกใบเดียว มันจะง่ายกว่ามากที่จะอยู่ในนั้น แต่ก็น่าเบื่อกว่ามากเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ไม่มีใครเข้าใจความหมายของคำว่า "กลม" และ "ปุย"

และในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ผู้เขียนกล่าวผ่านปากของครูคณิตศาสตร์ Taratara ว่า: "สิ่งสำคัญในคณิตศาสตร์คือการเคลื่อนไหวของความคิด ความคิดใหม่" ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์นี้ทำให้เกิดทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ไม่ใช่เพื่ออะไรที่มีการพิสูจน์ที่หลากหลายมากมาย ช่วยให้ก้าวไปไกลกว่าปกติและมองสิ่งที่คุ้นเคยในรูปแบบใหม่

บทสรุป

บทความนี้สร้างขึ้นเพื่อให้คุณมองข้ามหลักสูตรของโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ และเรียนรู้ไม่เพียงแค่การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ให้ไว้ในตำราเรียน "เรขาคณิต 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) และ "เรขาคณิต 7 -11 " (A.V. Pogorelov) แต่ยังรวมถึงวิธีอื่น ๆ ที่น่าสนใจในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง และดูตัวอย่างการนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้อีกด้วย

ประการแรก ข้อมูลนี้จะช่วยให้คุณสามารถเรียกร้องคะแนนที่สูงขึ้นในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ - ข้อมูลในหัวข้อนี้จากแหล่งข้อมูลเพิ่มเติมมักจะได้รับการชื่นชมอย่างสูง

ประการที่สอง เราต้องการช่วยให้คุณรู้สึกว่าคณิตศาสตร์น่าสนใจเพียงใด ตรวจสอบให้แน่ใจว่า ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมมีพื้นที่สำหรับความคิดสร้างสรรค์เสมอ เราหวังว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้จะเป็นแรงบันดาลใจให้คุณทำการค้นคว้าและค้นพบที่น่าตื่นเต้นในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ

บอกเราในความคิดเห็นหากคุณพบหลักฐานที่นำเสนอในบทความที่น่าสนใจ คุณพบว่าข้อมูลนี้มีประโยชน์ในการศึกษาของคุณหรือไม่? แจ้งให้เราทราบว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้ เรายินดีที่จะพูดคุยทั้งหมดนี้กับคุณ

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ทุกคนรู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาตั้งแต่สมัยเรียน นักคณิตศาสตร์ที่เก่งกาจคนหนึ่งได้พิสูจน์การคาดคะเนที่ยอดเยี่ยมซึ่งหลายคนใช้อยู่ในปัจจุบัน กฎมีลักษณะดังนี้: กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา เป็นเวลาหลายทศวรรษแล้วที่ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนเดียวที่สามารถโต้แย้งกฎนี้ได้ ท้ายที่สุดพีธากอรัสเดินไปตามเป้าหมายเป็นเวลานานดังนั้นภาพวาดจึงเกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน

1. ข้อพระคัมภีร์เล็กๆ ของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งคิดค้นขึ้นหลังจากการพิสูจน์ได้ไม่นาน ได้พิสูจน์คุณสมบัติของสมมติฐานโดยตรงว่า "กางเกงปีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง" สองบรรทัดนี้ถูกฝากไว้ในความทรงจำของคนจำนวนมาก - จนถึงทุกวันนี้บทกวีนี้ถูกจดจำในการคำนวณ
2. ทฤษฎีบทนี้เรียกว่า "กางเกงพีทาโกรัส" เนื่องจากความจริงที่ว่าเมื่อวาดตรงกลางจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านข้างมีสี่เหลี่ยม รูปลักษณ์นี้คล้ายกับกางเกง - ดังนั้นชื่อของสมมติฐาน
3. พีทาโกรัสภูมิใจในทฤษฎีบทที่พัฒนาขึ้น เนื่องจากสมมติฐานนี้แตกต่างจากสมมติฐานที่คล้ายกันตามจำนวนหลักฐานสูงสุด ข้อสำคัญ: สมการดังกล่าวได้รับการบันทึกใน Guinness Book of Records เนื่องจากมีหลักฐานที่เป็นความจริง 370 รายการ
4. สมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์และอาจารย์จำนวนมากจากประเทศต่างๆ ในหลายวิธี. โจนส์ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ หลังจากการประกาศสมมติฐานได้ไม่นาน ก็ได้พิสูจน์โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์
5. ในปัจจุบันไม่มีใครทราบการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยพีทาโกรัสเอง. ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับการพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันไม่เป็นที่รู้จักของใครเลย มีความเชื่อกันว่าการพิสูจน์ภาพวาดของยุคลิดเป็นหลักฐานของพีทาโกรัส อย่างไรก็ตามนักวิทยาศาสตร์บางคนโต้แย้งกับข้อความนี้: หลายคนเชื่อว่า Euclid พิสูจน์ทฤษฎีบทโดยอิสระโดยไม่ได้รับความช่วยเหลือจากผู้สร้างสมมติฐาน
6. นักวิทยาศาสตร์ในปัจจุบันได้ค้นพบว่านักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ไม่ใช่คนแรกที่ค้นพบสมมติฐานนี้. สมการนี้รู้จักกันมานานก่อนที่พีทาโกรัสจะค้นพบเสียอีก นักคณิตศาสตร์คนนี้สามารถรวมสมมติฐานเข้าด้วยกันได้เท่านั้น
7. ปีทาโกรัสไม่ได้ตั้งชื่อสมการว่า "ทฤษฎีบทปีทาโกรัส". ชื่อนี้ได้รับการแก้ไขหลังจาก "ดังสองบรรทัด" นักคณิตศาสตร์ต้องการให้คนทั้งโลกรับรู้และใช้ความพยายามและการค้นพบของเขาเท่านั้น
8. Moritz Kantor - นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดผู้ยิ่งใหญ่ค้นพบและเห็นบันทึกพร้อมภาพวาดบนต้นกกโบราณ. หลังจากนั้นไม่นาน Cantor ก็ตระหนักว่าทฤษฎีบทนี้เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์ตั้งแต่ 2,300 ปีก่อนคริสตกาล จากนั้นไม่มีใครใช้ประโยชน์จากมันและไม่พยายามพิสูจน์
9. นักวิชาการปัจจุบันเชื่อว่าสมมติฐานนี้เป็นที่รู้จักตั้งแต่ศตวรรษที่ 8 ก่อนคริสต์ศักราช. นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียในเวลานั้นค้นพบการคำนวณโดยประมาณของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก จริงอยู่ในเวลานั้นไม่มีใครสามารถพิสูจน์สมการได้อย่างแน่นอนด้วยการคำนวณโดยประมาณ
10. นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ Bartel van der Waerden หลังจากการพิสูจน์สมมติฐานก็ได้ข้อสรุปที่สำคัญ:“ ข้อดีของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกนั้นไม่ใช่การค้นพบทิศทางและเรขาคณิต แต่เป็นเพียงเหตุผลเท่านั้น ในมือของพีทาโกรัสมีสูตรการคำนวณที่อิงตามสมมติฐาน การคำนวณที่ไม่ถูกต้อง และแนวคิดที่คลุมเครือ อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นสามารถเปลี่ยนมันให้เป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนได้”
11. กวีผู้มีชื่อเสียงคนหนึ่งกล่าวว่าในวันที่ค้นพบภาพวาดของเขา เขาได้สร้างเครื่องบูชาอันน่ายกย่องให้กับวัว. หลังจากการค้นพบสมมติฐานที่มีข่าวลือแพร่สะพัดว่าการสังเวยวัวร้อยตัว "เดินเตร่ไปตามหน้าหนังสือและสิ่งพิมพ์" เป็นเรื่องตลกจนถึงทุกวันนี้ว่าตั้งแต่นั้นมาวัวทุกตัวก็กลัวการค้นพบใหม่
12. ข้อพิสูจน์ว่าพีทาโกรัสไม่ได้แต่งกลอนเกี่ยวกับกางเกงเพื่อพิสูจน์ภาพวาดที่เขาหยิบยกขึ้นมา: ในช่วงชีวิตของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่นั้นยังไม่มีกางเกง. พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นในอีกหลายทศวรรษต่อมา
13. Pekka, Leibniz และนักวิทยาศาสตร์อีกหลายคนพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทที่รู้จักกันก่อนหน้านี้ แต่ไม่มีใครทำสำเร็จ
14. ชื่อภาพวาด "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" แปลว่า "การโน้มน้าวด้วยคำพูด". นี่คือคำแปลของคำว่า Pythagoras ซึ่งนักคณิตศาสตร์ใช้เป็นนามแฝง
15. ภาพสะท้อนของ Pythagoras เกี่ยวกับกฎของเขา: ความลับของสิ่งที่มีอยู่บนโลกคือตัวเลข. ท้ายที่สุด นักคณิตศาสตร์อาศัยสมมติฐานของตนเอง ศึกษาคุณสมบัติของตัวเลข เปิดเผยความเท่าเทียมและความคี่ และสร้างสัดส่วน

เราหวังว่าคุณจะชอบการเลือกพร้อมรูปภาพ - ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส: เรียนรู้สิ่งใหม่เกี่ยวกับทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง (15 ภาพ) ทางออนไลน์คุณภาพดี กรุณาแสดงความคิดเห็นของคุณในความคิดเห็น! ทุกความคิดเห็นมีความสำคัญต่อเรา